SOS-MATH

J'ai un devoir de Spé maths à rendre et j'ai un peu de mal à le faire, pourriez - vous m'aider ?

Les Nombres de Mersenne sont les nombres premiers de la forme N=(2^P)-1, avec p naturel.
a. Pour a différent de 1 et n entier au moins égal à 2, simplifier la somme 1+a+...+a^(n-1)
b. Montrer que, si (a^n)-1 est un nombre premier alors a=2
c. Montrer que si n est composé alors (2^p)-1 est composé.
d. Montrer que si p est premier, alors (2^p)-1 est premier pour certaines valeurs de p, et composé pour d'autres valeurs.

J'ai réussi à faire la question a. mais je bloque pour le reste.
Merci

Bonsoir,
avez-vous simplifié la somme \(1+a+a^2+...+a^{n-1}=\frac{a^n-1}{a-1}\) : somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison a.
Donc on a en remettant en ligne \(a^n-1=(a-1)\times(1+a+a^2+...+a^{n-1})\)
Donc si on suppose \(a^n-1\) premier, il n'admet que 1 et lui-même comme diviseurs.
La décomposition précédente fournissant deux diviseurs de \(a^n-1\), nécessairement on doit avoir a-1=1, car cela ne peut pas être \(1+a+a^2+...+a^{n-1}>1\) donc ....

Oui j'ai bien obtenu cette simplification,
Je comprend votre raisonnement, mais je ne comprend pas sur quelle propriété on s'appuie ?

Oui j'ai bien obtenue cette simplification, mais le seul problème c'est que je comprend votre raisonnement, mais je ne comprend pas sur quelle proprieté nous nous appuyons ?

Désolé pour la double réponse, il y a eu un problème ...

Je m'appuie sur la définition d'un nombre premier : dire qu'un nombre est premier signifie qu'il n'a pas d'autre diviseurs que et lui-même, il est incassable : on ne peut pas l'écrire sous la forme \(p=a\times\,b\,,\,a,b\in\mathbb{N}\), on ne peut pas le décomposer autrement que par \(p=1\times\,p\),
Ici ayant écrit \(a^n-1=...\times...\), la seule possibilité est que parmi ces deux facteurs, il y en a qui vaut 1 et l'autre qui vaut \(a^n-1\), et comme \(1+a^2+...+a^{n-1}>1\), il vaut nécessairement \(a^n-1\) et c'est l'autre qui vaut 1 !
cela te semble-t-il plus clair ?

Ah oui beaucoup, merci

Tant mieux,
je te laisse voir pour la suite, (vérifie bien l'énoncé que tu as envoyé, il y a des n, des N, des p et je ne comprends pas tout)
Bonne soirée

Merci beaucoup pour ce que vous avez deja fais.
J'ai verifié mon énoncé, c'est le même.
Bonnne soirée

tiens nous au courant de tes progrès dans ce dm.
Bonne soirée

J'ai juste une question .... : qu'est-ce qu'un compose ?

Bonsoir Mathilde,

Un nombre composé est un nombre produit de deux ou plusieurs nombres premiers : 6 est composé car \(6=2\times3\) de même que 100, car \(100=2^2\times5^2\).
Tout nombre, excepté 0 et 1, sont soit premier soit composé.

Bonne continuation

J'ai réellement essayé toute la journée, je ne comprend vraiment pas comment faire ...
dois-je montrer la question 3 à partir de la 1 ? Parce que tous mes raisonnement n'aboutissent pas ...

Bonjour,
\(n\) est composé s'il existe deux entiers naturels \(u,v\) autres que 1 et \(n\), tel que \(n=u\times\,v\) (diviseurs propres)
ensuite il faut appliquer cela à \(2^n-1=2^{u\times\,v}-1=(2^{u})^v-1\) et là tu réappliques la question 1 avec \(2^{u}\)

Bonsoir,

j'ai le même exercice à faire mais j'avoue que je bloque sur la dernière question.
Faut-il faire un raisonnement par l'absurde ? OU par disjonction des cas ?