Dm exercice sur la somme des carrés consécutifs

[pauline]

bonjour,
je dois rendre mon Dm lundi, et je ne comprend pas le dernier exercice, le voici :

on veut démontrer que 1²+2²+...+(n-1)²+n²=\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
1a) Calculer \((K+1)^{3}\) - \(k^^{3}\)
b) écrire l'égalité précédente pour k=1,2,..., n-1 et n
c) faire la somme des égalités précédentes et montrer que pour tout entier n> ( ou égal) 1,
1²+2²+...+(n-1)²+n²=\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

pour le a \((K+1)^{3}\) - \(k^^{3}\) = 3K²+3K+1

pour le b j'ai trouvé, pour
k=1, \(2^{3}\) \(1^{3}\) = 7
k=2, \(3^{3}\) - \(2^{3}\)=19
k=n-1, \(n^{3}\)-\((n-1)^{3}\)= 3n²-3n+1
k=n, \((n+1)^{3\)}-\(n^{3}\)= 3n²+3n+1

pour le c ,
j'ai :
\(2^{3}\) - \(1^{3}\) +\(3^{3}\) - \(2^{3}\)+\(n^{3}\) - \((n-1)^{3}\)+\((n+1)^{3\)}-\(n^{3}\)= 7+19+3n²-3n+1+3n²+3n+1

après je suis bloquée...
pouvez vous m'aider svp

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu as en cascade :
\(2^3-1^3=3\times1^2+3\times\,1+1\) (en fait, il faut laisser tel quel et ne pas "arranger" les calculs
\(3^3-2^3=3\times2^2+3\times\,2+1\)
...
\(n^3-(n-1)^3=3\times (n-1)^2+3\times(n-1)+1\)
\((n+1)^3-n^3=3\times n^2+3\times\,n+1\)
en additionnant en cascade on a des simplifications :
\((n+1)^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)+3(1+2+3+...n)+n\)
tu sais que \((1+2+..n)=\frac{n(n+1)}{2}\) et ensuite tu isoles d'un côté \(1^2+2^2+...+n^2\)

[pauline]

merci pour votre réponse, mais je n'ai pas compris, pourquoi vous trouvez en additionnant pour la première partie de l' égalité, \((n+1)^{3}\) - 1 ? et pourquoi l'on a un + n dans la seconde partie, et pas +1 ?

[pauline]

en additionnant en cascade on a des simplifications :
\((n+1)^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)+3(1+2+3+...n)+n\)

merci pour votre réponse, mais je n'ai pas compris, pour quoi vous trouvez en additionnant pour la première partie de l' égalité, \((n+1)^{3}-1\) ? et pourquoi l'on a un + n dans la seconde partie, et pas +1 ?

[sos-math(21)]

quand tu additionnes tous les membres de gauche il y des termes qui disparaissent, regarde bien car s'il y a un \(-k^3\), dans une égalité, il y aura un \(k^3\)
dans la suivante donc ils s'élimineront : à la fin, il ne reste que les extrêmes qui n'ont pas trouvé leur opposé : -1 et \((n+1)^3\).
De même le 1 apparaît dans chaque membre de droite : additionner 1 n fois de suite cela doit faire n !

[pauline]

merci pour votre réponse j'ai compris maintenant =)
mais j'ai encore une question, je dois dans la seconde partie démontrer la même chose mais ici par récurrence, et je ne vois vraiment pas
comment faire ... pourriez vous me donner des indications pour débuter?
merci d'avance

[sos-math(21)]

pour la récurrence : on ne construit rien, on ne voit rien, il faut juste montrer que cela marche.
n=1, évident,$
prenons un entier n supérieur ou égal à 1 et supposons que la propriété \(P_n\,"1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}"\) soit vraie , alors il suffit de calculer :
\(1^2+...+n^2+(n+1)^2=\underbrace{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}_{P_n}+(n+1)^2\) et après on met au même dénominateur pour espérer avoir la fraction \(\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\) qui est la forme au rang n+1.

[pauline]

Merci pour votre aide j'ai finis l'exercice =)
bonne soirée

[sos-math(21)]

Très bien,
bonne soirée