SOS-MATH

Bonjour, voila je n'arrive pas faire un exercice

On désigne par p un nombre entier naturel premier supérieur ou égal a 7.
Le but de l'exercice est de démontrer que n=p^4 -1 est divisible par 3,5,et par 16.

1) Montrer que p est congru à -1 ou a 1 modulo 3. En déduire que n est divisible par 3
2)En considérant tous les reste de la division euclidienne de p par 5, démontrer que 5 divise n
3)En remarquant que p est impair prouver qu'il existe un entier naturel te que:
p^2 -1=4k(k+1) puis que n est divisible par 16.

Voila je ne sais pas comment démarrer cet exercice. Merci d'avance

Bonjour,
un nombre entier est congru à 0, 1, -1 modulo 3 car le reste d'une division par 3 est 0,1 ou 2 (donc -1 en termes de congruence).
Comme p est premier supérieur à 7 il n'est pas égal à 3 et donc n'est pas divisible par 3 donc il est congru à -1 ou à 1.
Par ailleurs, \(n=p^4-1=(p^2-1)(p^2+1)=(p-1)(p+1)(p^2+1)\) comme p est congru à 1 ou -1, il y a nécessairement un des facteurs p-1 et p+1 qui vaut 0 en congruence modulo 3, donc n aussi.

Bonjour, j'ai le même devoir maison..

pour le 2) je sais que p n'est pas congru à 5 car p est premier. ensuite on peut donc avoir comme reste 1,2,3 ou 4. or je sais que n est pair car p est premier donc p^2 est impair et donc p^4 est impair, donc p^4-1 est pair.
Je trouve après que pour p congru à 1 et 2 [7] alors p^4 congru à 1 [7] et donc n congru à 0 [7], ça marche. mais pour 3, ça ne marche pas et 4 non plus car pour 4 n est congru à 3[7] et pour 3 c'est aussi n congru à 3[7].
Je ne comprends pas pourquoi ça me donne ça et où je me suis trompée.

Merci !

Bonsoir,
oui effectivement, p est un premier supérieur à 7 donc p est congru à 1, 2, 3, 4 modulo 5.
Il faut utiliser la propriété très utile ici : si \(p\equiv\,k\,[5]\) alors \(p^4\equiv\,k^4\,[5]\).
Et on teste pour tous les restes possibles par exemple
\(p\equiv\,4\,[5]\) alors \(p^4\equiv\,4^4\,[5]\) or \(4^4=256\) et \(256\equiv\,1\,[5]\) donc on a bien \(n=p^4-1\equiv\,0\,[5]\) et on recommence pour les autres restes et ça marche !

D'accord, j'ai compris.

si p est impair cela signifie que p = 2k+1 avec k appartient à N donc p^2 = (2k+1)^2 et donc que p^2 -1=(2k+1)^2 -1=4k^2+4k+1-1=4k^2 +4k=4k(k+1)

On retombe bien sur ce que l'on voulait chercher.

Après il faut démontrer que n est divisile par 16.

Pour cela je me dis que l'on va reprendre avec p^4 -1=(2k+1)^4-1=((2k+1)^2)2-1=(4k^2 +4k+1)^2 -1=(4k(k+1)+1)^2 -1=16k^2(k+1)^2 +8k(k+1) -1

Et là je me dis que c'était pas une bonne idée mais je suis coincée...

Cela me paraît un peu compliqué, on a vu que
\(n=p^4-1=(p^2+1)(p^2-1)\), comme p est premier, p est impair donc \(p^2\) aussi donc \(p^2+1\) est pair donc il contient un facteur 2.
on a aussi vu que \(p^2-1=4k(k+1)\), il y a le facteur 4 évident et, dans \(k(k+1)\), comme ce sont deux entiers consécutifs, il y a forcément un nombre pair parmi eux, donc un facteur 2. Au final, j'ai "extrait" un facteur 4 et 2 facteurs 2 donc un facteur 16 !
Bon courage

d'accord, j'ai compris maintenant. Merci !