SOS-MATH

Bonjour j'ai ce dm a faire et je bloque

1)Pour a=2 puis a=3 déterminer un entier naturel n non nul tel que a^n soit congru a 1 modulo 7
2)Soit a un entier naturel non divisible par 7
a)Montrer que a^6 est congru a 1 modulo 7 (on fera une disjonction de cas)
b)On appelle ordre de a modulo 7 le plus petit entier naturel non nul k tel que a^k soit congru a 1 modulo 7
Montrer que le reste de la division euclidienne de 6 par k vérifie: a^r congru a 1 modulo 7
En déduire que k divise 6
Quelles sont les valeurs possible de k
c)Donner l'ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6
3)A tout entier naturel n on associe le nombre: A indice n=2^n+3^n+4^n+5^n+6^n.
Montrer que A indice 2011 est congru a 6 modulo 7.

Voila j'aimerais juste savoir comment débuter pour ces questions. Merci d'avance.

Bonjour,
pour le 1) il suffit de calculer les premières puissances de 2 puis celles de 3 jusqu'à ce que vous en trouviez une congrue à 1 mod 7
Pour la 2)
vous étudiez les cas a congru à 1, a congru à 2 etc ...
a congru à 1 alors a^6 congru à 1^6 = 1
a congru à 2 alors a^6 congru à 2^6 = .....
A vous de continuer

Bonjour, j'ai le même exercice à faire. Pour le 3, j'aimerais savoir si il faut dire que c'est comme si A indice n est congru à -1[7] ?

Merci d'avance !

Bonsoir,
\(A\equiv\,6\,[7]\) signifie bien \(A\equiv\,-1\,[7]\)

alors je trouve pour le
1) il faut que pour a = 2 n = 3 car 2^3 =7*1+1
pour a =3 n=6 car 3^6 = 104*7+1

2) a si a non divisible par 7 il faut que a soit congru à 1,2,3,4,5 ou 6 [7].
On fait donc le tableau :
modulo de 7 :
a congru à a^6 congruà
1 1 k=0
2 1 k=9
3 1 k=104
4 1 k=585
5 1 k=2232
6 1 k=6665
donc pour cette question pas de problème. Mais pour le b je ne comprends pas ce qu'on nous demande.

Bonsoir,
si on note \(r\) le reste de la division euclidienne de 6 par k, on a \(6=qk+r\) avec \(r<k\), on alors

Excuse-moi,
j'ai envoyé le message avant de le terminer , donc si on reprend
\(a^k\equiv1\,[7]\) s'écrit \(a^{qk+r}\equiv1\,[7]\) soit \((a^k)^q\times\,a^r\equiv1\,[7]\), or \(a^k\equiv1\,[7]\) donc
\((a^k)^q\equiv1\,[7]\) donc en remplaçant on a \(a^r\equiv1\,[7]\).
Donc nécessairement r=0, car sinon on aurait trouvé un entier plus petit que k vérifiant la condition \(a^r\equiv1\,[7]\), ce qui contredirait la définition de k.
Ainsi r=0 et k divise 6

Merci merci. Et quand on nous demande l'ordre modulo de 7 de tous les entiers de 2 à 6, est-ce qu'on nous demande si s est congru à 5 modulo 7 par exemple ?

Bonjour,

l'ordre modulo 7 de a est le plus petit entier naturel n strictement positif tel que \(a^n=1\) modulo 7.
Par exemple, pour chercher l'ordre de 12 modulo 7, on calcule :
\(12^1=5\) modulo 7
\(12^2=4\) modulo 7
\(12^3=6\) modulo 7
\(12^4=2\) modulo 7
\(12^5=3\) modulo 7
\(12^6=1\) modulo 7

donc l'ordre de 12 modulo 7 est 6.

Au passage, si tu sais lire entre les lignes, je t'ai donné l'une des réponses ;-)

D'accord je vois pour cette question. Mais pour la dernière, avec l'indice 2011... Je ne vois vraiment pas comment démarrer. est-ce qu'il faut pour pour 2 congru à 2011 3 congru à 2011... etc et faire la somme de tout ? Merci !

Bonjour,
as-tu trouvé les ordres de 2, 3, 4, 5, 6 ?
Ecris ensuite les divisions euclidiennes de 2011 par ces ordres et applique cela pour obtenir une simplification de tes puissances.
Par exemple,
l'ordre de 4 est 3 car \(4^3=64\equiv\,1\,[7]\), ainsi on effectue la division euclidienne de 2011 par 3 :
\(2011=670\times3+1\),
ainsi \(4^{2011}=(4^3)^{2011}\times4\) et comme \(4^3\equiv\,1\,[7]\), tu as \((4^3)^{670}\equiv\,1^{670}\equiv\,1\,[7]\), donc finalement \(4^{2011}\equiv\,4\,[7]\)
Et on recommence ainsi pour les autres entiers concernés

Bonjour, voilà j'ai le même DM mais je ne comprends pas un passage dans une explication
pourquoi a^k congru à a modulo 7 s'écrit a^qk+r congru à 1 modulo 7 ?
si quelqu'un pourrait bien me répondre, merci.

Bonsoir,
effectivement, il y a une faute de frappe dans mon avant-dernier message :
on effectue la division euclidienne de 6 par k : \(6=qk+r\), avec \(r<k\), comme on a \(a^k\equiv1\,[7]\), alors \((a^k)^q\equiv1\,[7]\), donc on a \((a^k)^q\times\,a^r\equiv\,a^r\,[7]\). Or on sait que \((a^k)^q\times\,a^r=a^{qk+r}=a^6\) et comme \(a^6\equiv1\,[7]\), on obtient finalement :
\(a^r\equiv1\,[7]\).
Est-ce plus clair ?