SOS-MATH

Exercice1:
On considère la fonction f définie sur R par F
f(x)= 2x^3-21x²+60x-20.

a) Etudier les limites en +00 et -00 de f.
Réponse: La limite en +-00 d'un polynôme est égale à celle de son terme de plus haut degrés : Lim 2x^3 = +00 lim f(x) = +00 et lim 2x^3 = 0+ lim f(x) = 0+
x tend vers +00 x tend vers -00
b) calculer f' (x) et étudier les variation de f.
réponse: f' (x)= 2 X 3x²-21 X 2x +60 X 1 - 0
= 6x² - 42x + 60
Delta= b²-4ac
= (-42)²-4 X 6 X 60
= 324 sup. a 0 alors 2 solutions. x1 = 2 et x2= 5
]-00; 2] U [5; +00[ : trinome est du signe de 6 ( pour le tableau de variation je ne sais pas très bien comment le faire j'ai mis que la courbe été tjrs croissante ?)

c) Montrer que l'équation f (x) = 0 a une solution unique dans R, on note a cette solution. Donner un encadrement de a.
réponse: je sais qu'il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires mais comme je n'est pas réussi le tableau de variation je n'arrive pas a résoudre cette question.

j'ai besoin d'aide. Merci d'avance; Bonne fin de journée

Bonjour Violaine,

Je n'arrive pas trop à te suivre pour les limites, je pense en effet que ton résultat est juste en \(+\infty\), pour la limite en \(-\infty\) c'est bien \(2x^3\) qui donne la limite et cela est bien \(-\infty\).
Pour la dérivée OK.
Pour le signe de la dérivée OK, elle s'annule bien en 2 et 5,et elle est bien négative entre ces valeurs.
Pour les variations, je te rappelle le théorème f est croissante si et seulement si la dérivée est positive et f est décroissante si et seulement si la dérivée est négative. Donc on ne peut pas affirmer que f est toujours croissante puis que la dérivée change de signe.
Pour l'équation, calcule f(2) puis f(5) déduis-en que f reste supérieure à f(5) pour x > 2. Ensuite calcule par exemple f(-1) et vérifie que les hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires sont vérifiées sur l'intervalle [-1 ; +2] et conclus.

Bonne continuation

Merci beaucoup pour votre aide. Bonne continuation

Suite du DM:

Exercice 2:
PARTIE A:
On considère la fonction g définie sur R par: g(x)= 2x^3-6x²-110
les questions de cette partie me semble bonnes puisque c'est les mêmes questions qu'a l'exercice 1 ci-dessus, donc je vous met directement la Partie B.

PARTIE B:
soit f la fonction définie sur ]0;+00[ par: f(x)= x²-6x+40+110/x.

a) calculer f'(x) puis montrer que f'(x)= g(x) / x².
réponse: f (x) = (x^3-6x²+40+110) / x
on pose u= x^3-6x²+40x+110 u'= 3x²-12x+40 et v= x v'= 1
f'(x)= u'v - uv' / v² = (3x²-12x+40) x - (x^3-6x²+40+110) 1 / x²
f'(x) = 2x^3 -6x²-110 / x²
f'(x)= g(x) / x² car g(x) = 2x^3-6x²-110

b) en utilisant la partie A, déterminer le signe de f'(x), en déduire le tableau de variation de f sur ]0;+00[.
réponse: je n'arrive pas a trouver le tableau j'ai fais une ligne pour g(x), une ligne pour x² une ligne pour f'(x) et un ligne pour f(x) mais après je n'arrive pas à savoir la valeur qui annule.

Exercice 3:

Résoudre:
1) l'équation ln (x) + ln(x-1) = ln (2)
réponse: on cherche les réels tels que x plus grand que 0 et x-1>0 càd les réels x tel que x>0 et x>1 donc E ]1; +00[
ln x + ln (x-1) = ln2
ln [x(x-1)] = ln2
x(x-1) = 2
x²-x-2 = 0
delta = 9 x1= -1 et x2= 2 : cette équation a pour solutions -1 et 2; or -1 n'appartient pas a E et 2 appartient a E donc S= {2}

2) l'inéquation ln (4-x)>0
réponse: On cherche l'ensemble E: 4-x>0 ssi x<4, donc E ]-00;4[
ln (4-x)>0
ln (4-x) > ln1
4-x > 1
x<3 : les solutions sont les réels qui sont dans E, donc S= ]-00;3[
3) l'inéquation ln (x²+x+1)>ln (2x+7)
réponse: pour l'ensemble E on cherche les réels x tels que x²+x+1>0 et 2X+7>0 donc E]-00; -7/2[
ln (x²+x+1)> ln(2x+7)
x²+x+1=2x+7 ssi, x²-x-6=0
on trouve delat =25 et les solutions sont x1= -2 et x2= 3, or 3 n'appartient pas a E donc l'ensemble des solutions de l'équation est S = {-2}
On sait que E ]-00;-2[
x²+x+1> 2x+7 ssi x²-x-6 > 0
après pour trouver l'intervalle je ne sais pas trop car je pense que l'ensemble E du départ doit être faux.

Exercice 4:
Ecrire les nombres A et B à l'aide d'un seul logarithme:

A= 1/2 ln25 - 2ln2
Réponse: A= ln V25 - ln2² = ln 5/4

B= ln 27 - ln1/3 -ln3
Réponse: B= ln27 -ln1-ln3-ln3 = ln3+ln9 -ln3 -ln3 = ln 9/3= ln3

Merci d'avance pour votre aide. ( le V dans l'exo 4 signifie racine carré)

Bonsoir Violaine,

Tu as du trouver que g(x) = 0 admet une unique solution \(\alpha\) pour x > 0.
Dans ce cas tu as le signe de g(x) ; <0 si x < \(\alpha\) et g(x) > 0 pour x > \(\alpha\)
Comme x² est toujours positf tu peux en déduire le signe de f'(x) puis les variations de f.

Revois tout cela, je regarde la suite

La suite,

Cela me parait tout à fait correct jusqu'à la question 3 ou l'ensemble de définition n'est pas le bon, exemple si x = -5, 2x-7 = -17 et ln(-17) n'existe pas.
Ensuite tes solutions précédentes te permettent de trouver le bon intervalle sachant que ax²+bx+c est du signe de a excepté entre x1 et x2.

L'exercice 4, il y a une erreur de signe dans la seconde expression

Bon courage

Bonsoir,
Merci beaucoup pour votre aide, je revois ça demain.
Bonne soirée

J'ai le même devoir maison et j'ai un problème pour la PARTIE A.
On considère la fonction g sur R : g(x) = 2x^3 - 6x² - 110

J'ai trouvé les limites en + et - l'infini, puis la dérivée : g'(x) = 6x² - 12x
Delta = 120 donc il y a deux solutions, et c'est là que se trouve mon problème, aussi simple qu'il puisse paraitre.

Je n'arrive pas à trouver ces deux solutions, selon les calculs que je fais je trouve toujours des résultats différents je ne comprends vraiment pas !!!

Merci à l'avance de votre précieuse aide ^^

Bonjour Elo,
on utilise le discriminant pour les trinômes du 2d degré pas pour les binômes ....
6x²-12x = 6x( .....)
Et vous trouverez les racines facilement.
Bon courage

Merci oui je me suis rendue compte de mon erreur.

Sinon moi pour l'exercice 3, je n'ai pas fait comme violaine
On a le même raisonnement de début mais ensuite :
ln x + ln (x-1) = ln 2
ln [ x * (x-1)] = ln 2
x (x-1) = 2

=> x = 2 ou x - 1 = 2
x = 2 ou x = 3

Solutions : 2 et 3

Qu'est ce qui ne va pas ?

De plus, pour le deuxième de l'exercice 4, j'arrive à 2 ln 3 - ln 1
Comment je pourrais faire pour simplifier cela ?
Mettre sous forme de division ? (mais que faire du 2?)

Bonsoir Elo,

Vous devez savoir que ln1=... une valeur bien connue.

Ensuite il existe cette propriété sur les logarithmes : \(ln(a^n)=nln(a)\). Vous pouvez l'appliquer à 2ln3.

Bon courage.

SOS-math

Bonsoir Elo,

Votre méthode pour résoudre l'équation x(x-1)=2 est incorrecte, vous avez travaillé comme si c'était un produit de facteurs égal à 0 ce qui n'est pas le cas ici puisqu'il s'agit d'être égal à 2 (et pas à 0).

Il faut développer et tout regrouper à gauche du signe "=" pour vous ramener à une équation du second degré que vous savez, je n'en doute pas, résoudre.

Bon courage.

SOS-math.