étude de fonction

[minima88]

Bonjour,

quelqu'un pourrait m'aider pour résoudre ce problème?

2. On considère la fonction f définie par f (x) = 624 - 6x - 2 400/x sur ] 0 ; + inf [
on pose g(x) = 624 - 6x et k(x) = -2400 / x sur ] 0 ; + inf [

2a. donner le sens de variation des fonctions g et k. justifier. Peut on en déduire le sens de variation de la fonction f? pourquoi?
j'ai juste trouvé :
f'(x) = -x + 2400/x² ?

2b. établir le tableau de variation de la fonction f. déduire les dimensions d'une page pour obtenir une surface imprimable maximale.


2c. calculer le pourcentage que représente cette aire maximale par rapport à l'aire totale d'une page.


Merci de votre aide.

[SoS-Math(4)]

Bonsoir ,

Tu t'es trompé dans le calcul de f '(x) car la dérivée de -6x est -6.

Par ailleurs ce sont les dérivées de g et k qu'il faut que tu calcules, d'après l'énoncé.

On a k'(x)=2400/x² Pour la dérivée de g, je te laisse faire .

sosmaths

[guy]

2)a) L'idée n'est pas d'utiliser les dérivées pour trouver les variations de f; mais de se servir des théorèmes sur l'addition de fonctions dont on connait le sens de variation :
g(x) = 624 - 6x : fonction affine décroissante ( a<0) et k(x) = -2400 / x croissante (cf 1/x)sur ] 0 ; + inf [ : peut-on utiliser le(s) théorèmes vus en cours pour conclure directement sur les variations de f ?
2b) étudie le signe de f'x) ... après l'avoir calculé correctement :)

[minima88]

merci

pour la dérivée de g(x), j'ai trouvé : g'(x) = -6

ensuite pour l'étude de fonction j'ai trouvé :
f est une fonction croissante, g est décroissante et k est croissante?

[sos-math(21)]

Attention,
on ne connait de résultat de variation sur la somme de fonctions que si celles-ci ont le même sens de variation. Ici, cela ne semble pas être le cas donc le recours aux propriétés d'addition est insuffisant, il faut employer un outil plus puissant : la dérivée.

[minima88]

il faut étudier f'(x)= 0?

f (x) = 624 - 6x - 2 400/x
donc pour f'(x) = 0

f(x) = 624 - x -2400 /x soit -x + 624 = -2400 /x²
donc : ( 642 - x ) ( x² ) = -2400 ?

Je ne sais pas du tout comment calculé le signe de f'(x) et comment l'étudier ensuite.

[SoS-Math(4)]

le calcul de k'(x) et de g'(x)te permet d'obtenir celui de f '(x)=-6+2400/x²

En réduisant au même dénominateur , on obtient : f '(x)=(-6x²+2400)/x²= \(\frac{-6(x^2-400)}{x^2}=\frac{-6(x+20)(x-20)}{x^2}\)

Maintenant tu peux étudier le signe de la dérivée en faisant un tableau de signes.

sosmaths

[mimina88]

J'ai vu sur internet que pour étudier le signe de la dérivée, il faut utiliser cette formule :

f'(x) = [ u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x) ] / v² (x)

Mais je n'ai jamais vu cette formule :/

[sos-math(21)]

Bonjour,
la formule que tu cites est la formule donnant la dérivée du quotient de deux fonctions.
Cette formule permet le calcul d'une dérivée mais pas l'étude de son signe.
Pour cela, étant donné la forme donnée dans les messages précédents, un tableau de signes semble adapté.

[minima88]

D'accord.

Alors pour le tableau de variation c'est donc : ( voir image )

[sos-math(21)]

Non,
tu as une dérivée avec les facteurs \((x+20),\,(x-20)\), \(x^2\), il faut faire un tableau de signes ! (avec des + et des - !)

[minima88]

Je ne m'y connait pas trop en tableau de variation, je ne sais pas ou placé le x² et pour le -20 c'est pas utile car l'ensemble de définition est sur ] 0;+ inf [

[minima88]

( je crois que mon message n'a pas été envoyé )
donc je disais, j'ai refait un tableau mais je ne sais pas ou placer le x² et par ailleurs le -20 n'est pas utile parce que l'ensemble de définition est : ] 0 ; + inf [

[sos-math(21)]

Le \(x^2\), n'est pas utile car il est strictement positif et n'influence pas le signe de f'(x).
Dans le tableau de variation tu fais une ligne pour x, une ligne pour f'(x) et son signe puis en bas une ligne pour les variations de f.
Il faut donc modifier un peu ton tableau.

[minima88]

voilà la modification de mon tableau de variation :