SOS-MATH

Bonjour, j'ai une démonstration à faire mais je bloque à la dernière partie alors un peu d'aide serait la bienvenue:

Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=\(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\).

J'essaye de faire une récurrence mais je n'arrive pas à la finir:
soit pour tout n non nul, la propriété P(n): 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=\(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\).
-P(1)=2. Donc P(1) est vraie.
-Supposons que pour un entier naturel n quelconque, P(n) soit vraie alors: 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=\(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) donc:
1*2+2*3+...+n(n+1)+(n+1)(n+2)= \(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) +(n+1)(n+2)
=\(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) + \(\frac{3(n+1)(n+2)}{3}\)

Et là je n'arrive pas à transformer ça pour avoir \(\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}\). J'ai même essayé de développer les deux séparément mais bizarrement je ne trouve pas le même résultat, j'ai un 3n en trop.

Merci d'avance.

Bonsoir,

Tu as fait le plus difficile ! Tu es arrivée à \(\frac{n(n+1)(n+2)}{3} +(n+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} + \frac{3(n+1)(n+2)}{3}\). Mets ton résultat sous forme d'une unique fraction et factorise le numérateur.
\(\frac{n(n+1)(n+2)}{3} + \frac{3(n+1)(n+2)}{3}=\frac{n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)}{3}\)

Je te laisse factoriser et avoir le plaisir de démontrer ta propriété.

Bonne continuation.

Bonjour,
Ah c'était tout bête en fait...
Mais est-ce-que vous pourriez m'aider pour un autre exercice s'il vous plaît ? :)
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ouvert -4;+00 par f(x)=\(\frac{2x+3}{x+4}\), de courbe représentative C(f) et (Un) la suite définie par U(0)=0 et U(n+1)=f(Un).
1.a) Etudier les variations de f.
b)démontrer que quelque soit x \(\in\) [0;1], f(x) \(\in\) [0;1]
c)Démontrer que C(f) admet deux asymptotes.
2.a)Démontrer que pour tout entier naturel n: U(n) \(\in\) [0;1].

Alors la première question je l'ai faite mais ensuite pour les autres voilà ce que j'ai:
1.b) Si 0 \(\leq\) x \(\leq\) 1
0 \(\leq\) 2x \(\leq\) 2
3 \(\leq\) 2x+3 \(\leq\) 5
\(\frac{3}{x+4}\) \(\leq\) f(x) \(\leq\) \(\frac{5}{x+4}\). Donc c'est faux mais je vois pas d'autre méthode.
1.c) Là j'ai trouvé une asymptote en factorisant le numérateur: x+(2/3) mais je n'arrive pas à trouver le deuxième.
2.a) Et là il faut appliquer la même méthode que pour la 1.b) ?

Même un tout petit coup de pouce m'aiderait parce-que l'exercice est très long.Merci d'avance.

Bonjour,
tu es en terminale n'est-ce pas ? N'as tu pas vu un théorème surpuissant pour définir un intervalle image ?
Si je te dis théorème des valeurs intermédiaires ? f est une fonction continue, strictement croissante sur un intervalle [a;b], alors définit une bijection de [a,b] sur [f(a);f(b)]
Si tu ne connais pas, il faudra qu'on essaie autre chose mais si tu connais exploite le.
Pour l'asymptote, regarde au voisinage de -4, et au voisinage de \(+\infty\) : on a une asymptote verticale et une asymptote horizontale (je ne sais pas comment tu as fait pour trouver x+(2/3).
Pour \(u_n\in[0,1]\), le plus propre est une récurrence : initialisation immédiate et pour l'hérédité, effectivement tu utilise la question d'avant
Bon courage

Bonjour,

Oui j'ai bien un théorème des valeurs intermédiaires: "Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) il existe au mois un réel c compris entre a et b tel que f(c)=k." Mais on a vu aucun exemple d'utilisation de ce théorème alors peut-être que vous pourriez me l'expliquer? Qu'est-ce qu'une bijection?

Pour les asymptotes je me suis trompée x+(2/3) est en fait une tangente...alors on a une asymptote horizontale: y=3 (ou 2?) et une verticale x= -4. C'est ça ?

Pour la question 2.a) on pose la propriété P(n):U(n)\(\in\) [0;1]?

Merci de m'avoir répondu.

Bon
je pense que le mot bijection est un peu prématuré, je ne veux pas t'embrouiller d'autant que cela ne doit pas être ce que ton prof attend...
si x est entre 0 et 1 alors clairement \(\frac{2x+3}{x+4}\geq0\).
Pour prouver ensuite \(\frac{2x+3}{x+4}\leq1\), calcule \(\frac{2x+3}{x+4}-1\) et détermine le signe de cette expression .
Pour la propriété par récurrence, cela semble bon

Bonjour,
j'ai réussi la question 1.a) grâce à vos indications mais je n'arrive pas à faire la 2.a)

Vous m'avez dit de faire une récurrence mais je n'y arrive pas:

Soit pour tout entier naturel n, la propriété P(n): "U(n) \(\in\) [0;1]"
U(o)=0 donc P(0) est vraie.
Supposons que pour un entier naturel n quelconque, P(n) soit vraie alors:
0\(\geq\) U(n) \(\geq\) 1
Et là quand je veux passer à U(n+1) le 1 qui est à droite se transforme en 2 donc c'est faux puisque je n'ai plus le même intervalle :/
A moins qu'on puisse faire comme ça: 0 \(\geq\) U(n) \(\geq\) 1
0\(\geq\) 2U(n) \(\geq\) 1 \(\geq\) 2
0\(\geq\)3\(\geq\) 2U(n)+3\(\geq\)1\(\geq\)5 ???
Mais je ne pense pas que ce soit ça...

tu sais que si \(x\in[0,1]\) alors \(f(x)\in[0,1]\) donc si on suppose que \(u_n\in[0,1]\), alors la propriété vue sur \(f\), nous permet de dire que \(u_{n+1}=f(u_n)\in[0,1]\) donc on a l'hérédité....

Bonsoir,
Ah d'accord, merci.
Je pensais qu'il fallait refaire la démonstration mais pas comme dans la question précédente.
Bref merci beaucoup.

c'est très important de comprendre qu'un exercice de mathématiques suit une logique implacable : les résultats des questions précédentes servent très souvent aux questions suivantes. Ici, il s'agit bien d'exploiter les infos sur f pour faire fonctionner la récurrence.
Bon courage