SOS-MATH

Bonjour,

J'ai un exercice à faire qui me pose probleme , si vous pouviez m'aider à le résoudre , l'énoncé est le suivant :

Il s'agit de déterminer un procédé de construction point par point d'une courbe (C) , de la tracer puis d'en trouver quelques propriétés. On note (C) l'ensemble des points M du plan équidistant de F (0 ; 2 ) et de la droite (ox) .

1) Soit M un point de la courbe (C) ; appelons H le projeté orthogonal de M sur (ox) . Quelle propriété possede le triangle FMH?
A l'aide du logiciel GEOPLAN j'ai donc repondu à cette question . Mais c'est plutot la suite qui me pose probleme :

2)Recherche d'une équation de la courbe (C) : preciser les calculs qui conduisent à l'écriture de l'equation de la courbe (C) ?

3)Quelle propriété géométrique relative au segment [FH] possède la droite tangente (T) à la courbe (C) en M? Démontrer votre conjecture .

4)Soit K le projeté orthogonal de M sur l'axe (oy) et I le point d'intersection de l'axe (oy) avec la droite perpendiculaire à (T) passant par M.

Conjecturer une propriété de la longueur du segment [KI] . Demontrer cette conjecture



Je vous remercie d'avance . Julie

Bonjour Julie
La question 2) revient à chercher l'équation \(y=f(x)\) de la courbe \((C)\) si on appelle \(x\) et \(y\) les coordonnées de \(M\) point quelconque sur la courbe \((C)\).
Or la courbe \((C)\) est l'ensemble des points \(M\) du plan, équidistants de \(F (0 ; 2 )\) et de la droite \((ox)\) . Donc \(MF~...~MH\)
Et on en déduit une relation entre \(y\) et \(x\).
Bon courage.

Bonsoir ,

La courbe (C) est l'ensemble des points M du plan , équidistants de F (0,2) et de la droite (ox) , donc MF=MH
Il faut donc que nous trouvons la longeur de MF et MH pour en déduire une relation entre x et y?
Je vous remercie beaucoup 238

Oui, c'est exactement la méthode.
Bon courage.

Bonsoir,

Cela me donne :

M(x,y) F(0,2) H(x,0)

MF= racine de [ (0-x)²+(2-y)²]
= racine de [ x² +4 - 4y +y²]
= x + 2 + y + 2racine de y

MH= racine de [ (x-x)²+(0-y)²]
= y

Mais j'avoue que sa me parait bizare le "2racine de y "
Merci d'avance

Bonsoir Julie
Ton résultat est juste :
\(MF= \sqrt{ (0-x)^2+(2-y)^2} = \sqrt{ x^2 +4 - 4y +y^2}\)
Mais ensuite ta simplification est fausse. Il vaut mieux ne pas simplifier que de mal le faire ;-))
Ensuite :
\(MH= \sqrt{ (x-x)^2+(0-y)^2} = y\) car \(y\geq 0\)
Et le plus commode pour simplifier est d'écrire que \(MF^2=MH^2\).
Bon courage pour la fin

Bonsoir,

Oui en effet je me suis rendu compte de ma grosse erreur aujourd'hui ^^ j'ai fini par trouver cette reponse et la dernière également du moins je pense.


En revanche la deuxieme me pose probleme, je vous dis ce que j'ai fait pour le moment :

On remarque que la tangente est la droite (AM). Donc puisque FHM est isocèle ( car M est équidistant de l'axe des abscisses et de F donc FM=MH) alors la hauteur est confondue avec la médiatrice et la médiane .
Donc [AM] perpendiculaire à [FH] si et seulement si (T) est perpendiculaire à [FH]. Je ne sais pas si mon raisonnement est correct mais après je ne sais pas comment continuer.

Je vous remercie d'avance pour vos conseil

Bonsoir,
La question suivante utilise le point \(A\), mais vous ne dites pas qui est le point \(A\). Est-ce l'intersection de \((FH)\) avec \((T)\) ?
Je pense qu'il faut utiliser l'équation que vous avez trouvée \(y=...\)
Si on note cette équation \(y=f(x)\) alors il faut calculer les coefficients directeurs de \((FH)\) et \((T)\).
Le premier se calcule avec le rapport \(\frac{y_F-y_H}{x_F-x_H}\), le deuxième avec la dérivée \(f'(x)\)
Il est simple de montrer alors ce que vous voulez démontrer (et qui est juste), à savoir que les deux droites sont perpendiculaires.
Bon courage.

Excusez moi de ne pas avoir préciser qui est le point A , en effet j'ai désigné le point A comme étant l'intersection de (FH) avec (T)

L'équation de la courbe trouvé à la question précédente est :
y= 1/4 x² + 1 . Si nous notons y=f(x) nous obtenons les coefficients directeurs suivant :

coefficient directeur de (FH) : ( Yf - Yh / Xf - Xh )= (2-0)/(0-x)
= -2
deuxieme coefficient directeur : f'(x) = 1/2 x

Je ne sais pas si j'ai fait une erreur de calcul mais sa m'étonne que nous ne trouvons pas le même coefficient directeur car je pensais que c'était cela qui aurait pu nous permettre de conclure que les deux droites étaient perpendiculaires .

Je vous remercie beaucoup

Bonsoir
Deux remarques :
- la première c'est que \((2-0)/(0-x) = \frac{2-0}{0-x}\neq-2\)
- la deuxième c'est que si deux coefficients directeurs sont égaux, cela ne signifie pas que les deux droites sont perpendiculaires, mais qu'elles sont ...
En revanche, pour que deux droites soient perpendiculaires, il faut que le produit de leurs coefficients directeurs soit égal à ...
Bonne soirée, et à demain !

Bonsoir ,

Effecivement je me suis trompé , les deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1 ( sinon su c'était égal à o elles auraient été paralleles ) . Ainsi nous avons :

-2/x * 1/2x = -1

On a donc prouvé que les deux droites sont perpendiculaires . Je vous remercie beaucoup !

Pas de quoi et à une prochaine fois !
Toutefois une petite remarque sur l'emploi des parenthèses : -2/x * 1/2x = \(-\frac{2}{x} \times \frac{1}{2}\times x\) ce qui n'est pas ce que vous voulez écrire.
Les parenthèses sont obligatoires : -2/x * 1/(2x) = \(-\frac{2}{x} \times \frac{1}{2x}\)

Bonjour,

merci pour cette rectification . Juste une dernière petite question , je ne comprend pas bien pourquoi il faut utiliser la dérivée de f(x) pour trouver le deuxieme coefficient directeur. Merci d'avance :)

Bonjour Julie
Tu as appris en classe de Première que :
- si \((T)\) est tangente à la courbe \((C)\) au point \(A\) (voir figure) ;
- si l'abscisse du point \(A\) est \(x=a\)
alors le coefficient directeur \(CD_T\) de \((T)\) est le nombre dérivé de \(f\) en \(x=a\).
C'est ce nombre que l'on appelle \(f'(a)\).
En résumé :
\(CD_T=f'(a)\)
Dans ton problème, le point de contact entre la courbe et la tangente s'appelle \(M\) et son abcisse s'appelle tout simplement \(x\), donc :
\(CD_T=f'(x)\)
Bon courage.