Lieu Géométrique

[Tom]

J'ai un DM à rendre pour demain, et j'ai commencé l'exercice, sauf que, cet exercice étant déjà traité sur le forum, je suis allé voir la correction, et la première question nécessite le calcul de la dérivée de f(x), or c'est là que j'ai un souci. Tout d'abord l'énoncé :

Soit f la fonction définie, pour tout réel x ≠ 1, par :
f(x) = x^3 / (x-1)²
Et C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal (O, i, j).
1°) Etudier les variations de la fonction f
2°) Déterminer des réels a, b, c et d tels que, pour tous réel x ≠ 1 :
f(x) = ax + b + [ (cx + d) / (x – 1)² ]
En déduire la position de la courbe C par rapport à la droite D d’équation y = x + 2.
3°) Déterminer l’abscisse du point J de la courbe C en lequel la tangente est parallèle à la droite D, puis une équation de cette tangente T.
4°) Tracer la courbe C et les droites D et T.
5°) a) A l’aide graphique, étudier, suivant les valeurs du paramètre p, le nombre de solution de l’équation : f(x) = x + p.
b) Préciser l’ensemble D des valeurs de p pour lesquelles cette équation admet deux solutions distinctes.
6°) Lorsque la droite Δ d’équation y = x + p coupe la courbe C en deux points M et N, on note P le milieu le milieu de [MN].
On s’intéresse au lieu géométrique du point P.
a) Démontrer que les abscisses des points d’intersection M et N sont les solutions de l’équation (E) (p-2)x² + (1-2p)x + p = 0.
b) En déduire que l’abscisse du point P est :
xP = 1 + [ 3 / (2p – 4) ]
et démontrer que P appartient à la courbe C d’équation :
y = x + 2 + [ 3 / 2(x – 1) ]
c) Quel est l’ensemble décrit par xP lorsque p décrit D ?
d) Etudier les variations de la fonction g définie, pour tout réel x ≠ 1, par :
g(x) = x + 2 + [ 3 / 2(x – 1) ]
et tracer la courbe C’.
Préciser la partie de la courbe C’ décrite par le point P lorsque la droite Δ prend toutes les positions possibles.





Donc pour la question 1) J'ai f'(x) = (-3x²) / [ (x-1)^4 ] et non pas f'(x) = [ x² (x² - 4x + 3) ] / [ (x-1)^4 ] comme Emeline nous le dit ici : http://sgbd.ac-poitiers.fr/sosmath/view ... f=9&t=4554 .
Si vous pouviez m'expliquer ce serait gentil, merci !

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tu connais la formule de dérivée d'un quotient
\(\left(\frac{u}{v}\right)\,'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\), tu l'appliques avec \(u(x)=x^3\) donc \(u'(x)=3x^2\) puis \(v(x)=(x-1)^2=x^2-2x+1\) donc \(v'(x)=2x-2\), soit
\(f'(x)=\frac{3x^2(x^2-2x+1)-x^3(2x-2)}{(x-1)^4}=\frac{3x^4-6x^3+3x^2-2x^4+2x^3}{(x-1)^4}\) qui est bien égal à la forme obtenue par Emeline après réduction et factorisation par \(x^2\)

[Tom]

Merci beaucoup pour la 1). Pour la question 2) En déduire la position de la courbe C par rapport à la droite D d'équation y = x+2
J'ai un souci : J'ai calculé f(x) - (x+2) = (3x-2) / (x-1)² et je fais quoi maintenant pour en déduire quelque chose ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tu as calculé f(x)-(x+2) ce qui correspond graphiquement à l'écart entre ta courbe et l'asymptote. Etudie le signe de cette différence, cela te donnera la position de la courbe par rapport à l'asymptote :
négatif : courbe en dessous de l'asymptote,
positif :courbe au-dessus de l'asymptote.