SOS-MATH

Bonsoir,
J'aurais juste besoin d'aide sur une question tout simple mais où je ne trouve pas le bon résultat ...
j'ai z(puissance)4 - 3z(puissance)3 + (9/2)z² -3z +1
je dois vérifier que 1+i est solution de cette équation soit résoudre p(1+i)=0
Mais j'ai beau refaire les calculs je ne trouve jamais 0...
et je dois en déduire une factorisation sous la forme de deux polynômes à coefficient réels
Merci d'avance de votre aide.

Bonsoir ,

Ca fait pourtant bien 0.

(1+i)^4=1+4i+6i²+4i^3+i^4=-4

(1+i)^3=1+3i+3i²+i^3=-2+2i

(1+i)²=1+2i+i²=2i

J'espère qu'avec ces calculs intermédiaires tu pourra trouver 0.

bon courage

sosmaths

Merci pour l'équation j'y suis arriver et je trouve bien 0
Par contre pour le reste je sais qu'il faut factoriser par [z-(1+i)] q(x)
Je mettrais bien q(x) = az²+bz+c mais après je ne vois pas comment faire ?

Merci pour l'équation par contre la factorisation je galère un peu
je sais que je dois factoriser par [z- (1+i)] q(x)
mais je bloque ...

Bonjour,
une remarque : ton équation est à coefficients réels, donc si 1+i est solution, alors son conjugué 1-i est aussi solution, donc tu peux factoriser par un polynôme ayant pour racines 1+i, 1-i (retrouve les coefficients de ce polynôme grâce au relations entre coefficients et produit/somme des racines).
Une fois que tu as un polynôme, c'est gagné

Bonjour ti92 (?),

La méthode est juste, sauf que P est un polynôme du 4ème degré, donc si P = (z-(1+i))q(z) alors q(z) est du 3ème degré.
Donc q(z) = az^3+bz²+cz+d.

Cependant, comme P a des coefficients réels, alors si \(z_0\) est une racine, alors \(\overline{z_0}\) est aussi une racine.
Donc \(\overline{1+i}\) (= ....) est racine de P.
Donc P(z) = (z-(1+i))(z-(....))q(z) alors q(z) est du 2nd degré.
Il faut alors développer le membre de droite. On obtient donc deux polynômes égaux, donc les coefficient des termes de même degré sont égaux.
Exemple : ax+b=3x-1 équivaut à a=3 et b=-1.

Bon courage,
SoSMath.

Effectivement j'avais oublier [z-(1-i)] ....
Donc j'obtiens [z-(1+i)][z-(1-i](az²+bz+c)
Le problème c'est que je ne vois pas comment on résout, pcq moi j'ai tout développer je sais pas s'il fallait faire ça ... certes ça me supprime les parties imaginaires par simplification mais au final j'obtiens 2az²+2bz+2c et je doute énormément de ma réponse qui me semble peut possible ....

Bonsoir,

J'ai un doute sur votre développement ..... [z-(1+i)][z-(1-i)](az²+bz+c) = ? 2az²+2bz+2c.
En principe en développant vous devriez trouver au moins un terme en z^4.
Recommencer votre développement.

SoSMath.

J'ai développé:
[z-(1+i)][z-(1-i)](az²+bz+c)
(z-i)(z+i)(az²+bz+c)
(z²+zi-zi-i²)(az²+bz+c)
z²(az²+bz+c)
az^4+bz^3+cz²

Attention à ce que vous faites !

[z-(1+i)][z-(1-i)] \(\neq\) (z-i)(z+i)
Pourquoi avoir enveler les "1" ?

[z-(1+i)][z-(1-i)] = z²-z(1-i)-z(1+i)+(1-i)(1+i) = ... à toi de terminer.

SoSMath.

Merci beaucoup.