Bonsoir,
J'aurais juste besoin d'aide sur une question tout simple mais où je ne trouve pas le bon résultat ...
j'ai z(puissance)4 - 3z(puissance)3 + (9/2)z² -3z +1
je dois vérifier que 1+i est solution de cette équation soit résoudre p(1+i)=0
Mais j'ai beau refaire les calculs je ne trouve jamais 0...
et je dois en déduire une factorisation sous la forme de deux polynômes à coefficient réels
Merci d'avance de votre aide.
nombre complexe
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ti12
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SoS-Math(4)
- Messages : 2724
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12
Re: nombre complexe
Bonsoir ,
Ca fait pourtant bien 0.
(1+i)^4=1+4i+6i²+4i^3+i^4=-4
(1+i)^3=1+3i+3i²+i^3=-2+2i
(1+i)²=1+2i+i²=2i
J'espère qu'avec ces calculs intermédiaires tu pourra trouver 0.
bon courage
sosmaths
Ca fait pourtant bien 0.
(1+i)^4=1+4i+6i²+4i^3+i^4=-4
(1+i)^3=1+3i+3i²+i^3=-2+2i
(1+i)²=1+2i+i²=2i
J'espère qu'avec ces calculs intermédiaires tu pourra trouver 0.
bon courage
sosmaths
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ti12
Re: nombre complexe
Merci pour l'équation j'y suis arriver et je trouve bien 0
Par contre pour le reste je sais qu'il faut factoriser par [z-(1+i)] q(x)
Je mettrais bien q(x) = az²+bz+c mais après je ne vois pas comment faire ?
Par contre pour le reste je sais qu'il faut factoriser par [z-(1+i)] q(x)
Je mettrais bien q(x) = az²+bz+c mais après je ne vois pas comment faire ?
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ti12
Re: nombre complexe
Merci pour l'équation par contre la factorisation je galère un peu
je sais que je dois factoriser par [z- (1+i)] q(x)
mais je bloque ...
je sais que je dois factoriser par [z- (1+i)] q(x)
mais je bloque ...
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: nombre complexe
Bonjour,
une remarque : ton équation est à coefficients réels, donc si 1+i est solution, alors son conjugué 1-i est aussi solution, donc tu peux factoriser par un polynôme ayant pour racines 1+i, 1-i (retrouve les coefficients de ce polynôme grâce au relations entre coefficients et produit/somme des racines).
Une fois que tu as un polynôme, c'est gagné
une remarque : ton équation est à coefficients réels, donc si 1+i est solution, alors son conjugué 1-i est aussi solution, donc tu peux factoriser par un polynôme ayant pour racines 1+i, 1-i (retrouve les coefficients de ce polynôme grâce au relations entre coefficients et produit/somme des racines).
Une fois que tu as un polynôme, c'est gagné
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SoS-Math(9)
- Messages : 6338
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: nombre complexe
Bonjour ti92 (?),
La méthode est juste, sauf que P est un polynôme du 4ème degré, donc si P = (z-(1+i))q(z) alors q(z) est du 3ème degré.
Donc q(z) = az^3+bz²+cz+d.
Cependant, comme P a des coefficients réels, alors si \(z_0\) est une racine, alors \(\overline{z_0}\) est aussi une racine.
Donc \(\overline{1+i}\) (= ....) est racine de P.
Donc P(z) = (z-(1+i))(z-(....))q(z) alors q(z) est du 2nd degré.
Il faut alors développer le membre de droite. On obtient donc deux polynômes égaux, donc les coefficient des termes de même degré sont égaux.
Exemple : ax+b=3x-1 équivaut à a=3 et b=-1.
Bon courage,
SoSMath.
La méthode est juste, sauf que P est un polynôme du 4ème degré, donc si P = (z-(1+i))q(z) alors q(z) est du 3ème degré.
Donc q(z) = az^3+bz²+cz+d.
Cependant, comme P a des coefficients réels, alors si \(z_0\) est une racine, alors \(\overline{z_0}\) est aussi une racine.
Donc \(\overline{1+i}\) (= ....) est racine de P.
Donc P(z) = (z-(1+i))(z-(....))q(z) alors q(z) est du 2nd degré.
Il faut alors développer le membre de droite. On obtient donc deux polynômes égaux, donc les coefficient des termes de même degré sont égaux.
Exemple : ax+b=3x-1 équivaut à a=3 et b=-1.
Bon courage,
SoSMath.
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ti12
Re: nombre complexe
Effectivement j'avais oublier [z-(1-i)] ....
Donc j'obtiens [z-(1+i)][z-(1-i](az²+bz+c)
Le problème c'est que je ne vois pas comment on résout, pcq moi j'ai tout développer je sais pas s'il fallait faire ça ... certes ça me supprime les parties imaginaires par simplification mais au final j'obtiens 2az²+2bz+2c et je doute énormément de ma réponse qui me semble peut possible ....
Donc j'obtiens [z-(1+i)][z-(1-i](az²+bz+c)
Le problème c'est que je ne vois pas comment on résout, pcq moi j'ai tout développer je sais pas s'il fallait faire ça ... certes ça me supprime les parties imaginaires par simplification mais au final j'obtiens 2az²+2bz+2c et je doute énormément de ma réponse qui me semble peut possible ....
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SoS-Math(9)
- Messages : 6338
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: nombre complexe
Bonsoir,
J'ai un doute sur votre développement ..... [z-(1+i)][z-(1-i)](az²+bz+c) = ? 2az²+2bz+2c.
En principe en développant vous devriez trouver au moins un terme en z^4.
Recommencer votre développement.
SoSMath.
J'ai un doute sur votre développement ..... [z-(1+i)][z-(1-i)](az²+bz+c) = ? 2az²+2bz+2c.
En principe en développant vous devriez trouver au moins un terme en z^4.
Recommencer votre développement.
SoSMath.
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ti12
Re: nombre complexe
J'ai développé:
[z-(1+i)][z-(1-i)](az²+bz+c)
(z-i)(z+i)(az²+bz+c)
(z²+zi-zi-i²)(az²+bz+c)
z²(az²+bz+c)
az^4+bz^3+cz²
[z-(1+i)][z-(1-i)](az²+bz+c)
(z-i)(z+i)(az²+bz+c)
(z²+zi-zi-i²)(az²+bz+c)
z²(az²+bz+c)
az^4+bz^3+cz²
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SoS-Math(9)
- Messages : 6338
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: nombre complexe
Attention à ce que vous faites !
[z-(1+i)][z-(1-i)] \(\neq\) (z-i)(z+i)
Pourquoi avoir enveler les "1" ?
[z-(1+i)][z-(1-i)] = z²-z(1-i)-z(1+i)+(1-i)(1+i) = ... à toi de terminer.
SoSMath.
[z-(1+i)][z-(1-i)] \(\neq\) (z-i)(z+i)
Pourquoi avoir enveler les "1" ?
[z-(1+i)][z-(1-i)] = z²-z(1-i)-z(1+i)+(1-i)(1+i) = ... à toi de terminer.
SoSMath.
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ti12
Re: nombre complexe
Merci beaucoup.