SOS-MATH

Bonjour,
J'ai un DM à rendre pour jeudi prochain, et je me retrouve bloquer sur quelque chose qui est pourtant plutôt simple apparemment. Voici le sujet:

On considère deux fonctions f et g définies et continues sur un intervalle [a;b] et telles que : f(a)<g(a) et f(b)>g(b).
1.a) Faire un graphique correspondant à ces données.
b) En considérant la fonction h définie sur [a;b] par h(x)= f(x)-g(x), montrer que l'équation f(x)=g(x) a au moins une solution sur ]a;b[
c) Faire un graphique tel que cette équation ait exactement deux solution sur ]a;b[.

2. On suppose dans cette question, f strictement croissante sur [a;b] et g strictement décroissante sur [a;b].
a) Montrer que la fonction h=f-g est strictement croissante sur [a;b].
b) Que peut-on en déduire sur le nombre de solutions l'équation f(x)=g(x)

J'ai fais la 1a, pour la b j'ai montré que h était continue sur [a;b] et que h(a)<0 et h(b)>0
J'ai ensuite appliqué mon théorème des valeurs intermédiaires en l'adaptant :
"h est définie et continue sur [a;b], pour tout nombre k compris entre h(a) et h(b), il existe au moins un réel c compris entre à et b, tel que : f(c)=k
Et alors la...
Je serai tentée de mettre :
On pose : x=c et k=g(x)
Mais je reste un peu sceptique et ne sait pas vraiment comment faire. Soit le prouver graphiquement avec mes courbes tracées arbitrairement à la question 1a ou une autre manière qui pour le moment, m'échappe toujours.

Merci d'avance de vos réponse.
Laura

Bonjour,

j'ai montré que h était continue sur [a;b] et que

h(a)<0 et h(b)>0

J'ai ensuite appliqué mon théorème des valeurs intermédiaires en l'adaptant :
"h est définie et continue sur [a;b], pour tout nombre k compris entre h(a) et h(b), il existe au moins un réel c compris entre à et b, tel que : f(c)=k

La fin ne convient pas: c'est h(c)=k

Appliquez le à k=0 et vous avez la solution puisque vous avez dit que h(a)<0 et h(b)>0

Bon courage

Ah oui exact! Merci !
h(c)=k
Donc, ça me donne :

soit k=0
Alors h(c)=0
f(c)-g(c)=0
f(c)=g(c)
?

Et après je conclue que c est une des solutions?
Pardonnez moi, je suis un peu perdue.

Laura, on ne vous demande pas de donner les solutions mais de montrer qu'il en existe. C'est ce que vous avez fait en disant qu'il existe un réel c tel que ......
Bon courage

2. On suppose dans cette question, f strictement croissante sur [a;b] et g strictement décroissante sur [a;b].
a) Montrer que la fonction h=f-g est strictement croissante sur [a;b].
b) Que peut-on en déduire sur le nombre de solutions l'équation f(x)=g(x)

Re bonjour;
Merci pour vos indications, elles m'ont bien aidées.
Excusez moi de vous déranger à nouveau, j'ai réussis à finir le petit 1 et me suis mise à réfléchir au petit 2.
La seule chose que j'ai "trouvée", c'est que g étant décroissante et f croissante, le rapport f-g devient de plus en plus grand et donc h est croissant.
Mais ça me semble un peu bateau.

Encore merci de prendre le temps de m'aider.

Bonsoir Laura,

Ton raisonnement n'est pas juste !
Il faut considérer f-g comme f+(-g).
Tu connais les variations de g, donc tu peux en déduire celles de (-g).
Il te reste alors à conclure sur les varaitions de f-g.

SoSMath.