SOS-MATH

Bonjour, j ai un ds de maths demain et pour finir mes revisions, je me suis plongé sur des exos que je n avais jamais fait.
Hélas un de ces exos me posent problemes... Voici son énoncé : "dire si ces affirmations sont vraies ou fausses et justifier
-Si u converge, alors u² converge
-Si u est bornée, alors u converge,
-Si u est bornée, alors u converge
Pouvez- vous m aider s'il vous plait?

Bonsoir,
si \((u_n)\), converge vers \(\ell\in\mathbb{R}\), alors pour tout n on a \(u_n^2-\ell^2=(u_n-\ell)(u_n+\ell)\),
alors comme \((u_n)\) tend vers \(\ell\), le premier terme tend vers 0, le second vers \(2\ell\) donc

Excuse moi,
j'ai envoyé le message sans le terminer, on a donc le deuxième facteur qui tend vers \(2\ell\) donc au final, on a bien \(u_n^2\) qui est convergente de limite \(\ell^2\).
Pour l'autre c'est faux a priori, considère la suite \(v_n=(-1)^n\), elle est bornée (entre -1 et 1) et elle ne converge pas, étant alternativement égale à 1 ou -1.
Voilà

merci pour vos precedentes reponses qui m'ont beaucoup aidés a comprendre... Mais j aurais encore deux affiramtions a vous poser.
Si u converge alors u est bornée
Si u² ets bornée alors u est bornée
Pouvez vous me dire la méthode pour répondre a ces deux questions?

Bonsoir,
une suite convergente est bornée si \((u_n)\) converge vers \(\ell\in\mathbb{R}\), alors, à partir d'un certain rang N, \(|u_n-\ell|\leq\,1\) donc à partir de ce rang \((u_n)\) est bornée et pour les rangs d'avant, comme ce sont des nombres réels, ils sont bornés (par le plus grand d'entre eux) donc en prenant un nombre supérieur à ces deux majorants, on a bien \((u_n)\) bornée : ce serait plus propre avec de \(\epsilon\) et des quantificateurs mais je ne sais pas si tu connais. Pour la deuxième c'est plus simple \(u_n^2\) borné implique qu'il existe un M>0, tel que pour tout entier n, \(u_n^2\leq\,M\), la fonction racine carrée étant croissante on a \(\sqrt{u_n^2}\leq\,\sqrt{M}\) donc on a \(|u_n|\leq\sqrt{M}\)
Voilà