SOS-MATH

Bonjour,
Ce Dm assez difficile comporte une deuxième partie indépendante.
On considère une fonction f dérivable sur R et vérifiant f(0)=1 et f ' =k*f avec k réel différent de 0.
1) Montrer que f '(0) =k.
2) Soit a un réel fixé. On considère la fonction g(x)=f(x+a)*f(-x).
a) Calculer g'(x).
b) Calculer g(0). Déduire que f(x+a)*f(-x)=f(a)

Voici mes réponses:
1) f ' (0)= k*f(0)
Or, f(o) =1 donc f ' (0)=k Cette question est donc très facile.
2) a) Je trouve que g ' (x)=2k*f(x+a)*f(-x). = 2k g(x) . ( J'ai vérifié mes calculs et je suis sur de ce résultat)
b) g(o)=f(a+0)*f(0) donc g(0)=f(a). Par conséquent , g ' (0)= 2k f(a)
Par contre après je ne vois pas comment déduire que f(a)=f(x+a)*f(-x).
Cela supposerait que g(0)=g(x) pour tout réel et donc que g est une fonction constante mais je n'arrive pas à le prouver.
En plus je commence à paniquer car le devoir est pour mardi.
Merci d'avance.

Bonjour Raphaël,

Le problème vient du fait que votre calcul de dérivée du 2)a) est incorrect.
Vous devriez trouver 0, ce qui vous permettrait de conclure pour le b).
Lorsque vous calculez \(g'(x)\) par la formule du produit, il vous faut faire attention au terme \(f(-x)\) qui lorsqu'on le dérive devient \(-f'(-x)\) par la règle de calcul des fonctions composées.

Bon courage pour la fin de l'exercice.

SOS-math.

Je ne comprends pas pourquoi:
f(-x) qui lorsqu'on le dérive devient -f(-x) par la règle de calcul des fonctions composées.
Pour moi il s'agit seulement d'un produit que je dérive ainsi:
g' (x)= f ' (x+a)* f(-x) + f(x+a)*f ' (-x)
Or, f ' = k*f
donc f ' (x+a) = k* f (x+a)
et f ' (-x) = k * f (-x)
Donc g ' (x) = k*f(x+a)*f(-x)+k*f(x+a)*f(-x)
D'où g ' (x) = 2g(x)

Bonsoir Raphaël,

Tout d'abord je tiens à vous signaler que nous souhaitons que les élèves qui écrivent sur le forum soient polis : il faut toujours dire bonjour et remercier. Tâchez d'y penser ...
Revenons à votre exercice :

J'insiste, vous faites une erreur lorsque vous dérivez car \(f(-x)\) est une fonction composée; plus exactement on a \(f(-x)=uov(x)\) avec \(u(x)=f(x)\) et \(v(x)=-x\). La dérivée est bien celle que je vous ais signalée et il vous faut appliquer le résultat sur la dérivation des fonctions composées lorsque vous dérivez \(f(-x)\).

Bon courage.

SOS-math