Suites récurrentes

[Elise]

Bonjour,

je suis actuellement en classe de terminale S et je sollicite votre aide car je ne vois vraiment pas comment résoudre l'exercice ci-joint :

Exercice

Je pensais résonner en suivant ces étapes apprises en cours:
* montrer que la proposition est vraie pour le premier entier
* puis démontrer que si celle ci est vraie pour un entier k fixé, elle est aussi vraie pour un entier k+1.

Or, mes problèmes débutent dès la première étape d'nitialisation:
le premier entier naturel étant 0, je voulais démontrer que la proposition est vraie pour n=0.

soit:
Un = a^2^0 - 1 = a - 1 [je pense, puisque je n'ai jamais utilisé de puissance à la puissance, je présume que la règle de priorité est a^(2^0)]
2^n+1 = 2^1 = 2

Or je ne sais pas comment expliquer que la proposition est vraie, je comprends que a - 1 (nbre impair - 1 => nbre pair) et qu'un nombre pair est bien multiple de 2 mais je ne vois pas comment l'écrire "mathématiquement.


Pensez vous que la manière de l'initialisation/hérédité soit la bonne pour démontrer cette proposition? Car je n'y suis pas encore arrivée pour l'instant, je continue à chercher la suite.


Merci d'avance pour votre aide!

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

Tu as dit : a^2^0-1=a-1.
a étant impair , a-1 est pair donc divisible par 2.

C'est un très bon raisonnement qui se suffit à lui même.

La difficulté sera peut être de montrer l'hérédité.


Si tu voulais un raisonnement calculatoire tu pourrais dire que , a étant impair , il existe un entier k tl que a=2k+1, donc a-1= 2k, donc divisible par 2.


sosmaths

[Elise]

Bonjour,

tout d'abord, merci beaucoup pour votre aide. Par contre, malgré mes recherches, je ne vois pas comment prouver l'hérédité...

J'ai scanné et joint ce que j'ai fait (pour que ça soit plus lisible à cause des puissances).

J'espère vraiment que vous pourrez me venir en aide.

Merci beaucoup!

Elise

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Pour effectuer une récurrence, il faut initialiser c'est-à-dire prouver au premier rang \(n_0\), puis pour un rang \(n\geq\,n_0\) quelconque, prouver que si l'on suppose que la propriété est vraie au rang \(n\), alors elle est vraie au rang \(n+1\).
Dans ta rédaction, tu as bien débuté mais tu supposes aussi que la propriété est vraie au rang \(n+1\), ce qui est de trop.
Si tu supposes \(P_k\) vraie pour un entier \(k\geq0\), il faut essayer de trouver un lien entre \(u_k\) et \(u_{k+1}\) :
\(u_{k+1}=a^{2^{k+1}}-1=\left(a^{2^k}\right)^2-1\) et là tu dois reconnaitre une identité remarquable, tu factorises et tu dois utiliser la propriété au rang \(k\), ainsi que le caractère impair de \(a\).

[Elise]

Merci beaucoup pour votre aide claire et précise.

Je n'avais pas reparlé de l'étape d'initialisation car je l'avais déjà expliquée dans mon premier commentaire.
Mon probléme était plutôt de de trouver un lien entre Uk et Uk+1.

Grace a vous j'ai pu arriver jusqu'a Uk+1 = (a^2^k - 1) (a^2^k + 1)

Et grace à l'expression de Uk j'ai pu dire que c'était aussi égal à Uk+1 = p.2^(k+1) (a^2^k+1).

Mais je ne sais pas comment procéder avec l'expression (a^2^k+1) qui me reste avant de pouvoir affirmer que la proposition est vraie pour Uk+1.

J'espère que vous aurez compris mon problème car j'ai du mal à l'expliquer.

Merci!

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Il s'agit juste d'un argument de parité, si \(a\) est impair alors \(a^2\) est aussi impair (il suffit d'écrire a=2q+1 et de développer \((2q+1)^2\)), donc à priori les carrés successifs sont aussi impairs donc \(a^{2^{k}}\) l'est aussi donc \(a^{2^{k}}+1\) est pair donc divisible par 2 et comme \(u_k\) est divisible par \(2^{k+1}\), \(u_{k+1}\) est divisible par \(2^{k+2}\) d'où l'hérédité
Bon courage

[Elise]

Merci de m'avoir aidé à finir mon exercice!

Bonne continuation!