SOS-MATH

Bonjour,

J'aimerais aider ma fille dans l'exercice suivant, mais, à 60 ans passés, la récurrence n'est qu'un lointain souvenir !!!… :


Soit deux suites relles, n appartenant à N, définies par :

U1=13
Un+1=(Un+2Vn)/3 pour n plus grand ou égal à 1
et :
V1=1
Vn+1=(Un+3Vn)/4 pour n plus grand ou égal à 1

Partie B : Récurrence

-Démontrer que pour tout n plus grand ou égal à 1, Un plus grand ou égal à Vn
-En déduire que Un et Vn sont monotones
-Démontrer qu'elles sont bornées par 1 et 13.

Partie C : suites auxiliaires :

-On pose Wn=Vn-Un
Démontrer que Wn est une suite géométrique
Exprimer Wn en fonction de n pour tout n de N

-On poseTn=3Un+8Vn
Démontrer que Tn est constante et préciser sa valeur en fonction de n
En déduire les expressions de Un et Vn en fonction de n, préciser les limites de Un et Vn.



Dans la partie A, on il était demandé de calculer les 4 premiers termes :

U2= 5, U3=4,33, U4=4,28

V2=4, V3=4,25 V4=4,27

Et de conjecturer :sens de variation, majorant, minorant, comparaison, limites
(pouvez-vous également m'éclairer sur majorant, minorant et comparaison !!)

Partie B :
Démontré pour n=1 (U2=5, et V2=4), puis l'idée m'est venue d'utiliser Un+2 et Vn+2, en fonction de Un et Vn pour démontrer l'hérédité, mais impossible d'aboutir au résultat demandé !

Partie C : en cours dinvestigation, mais pistes floues..!!!

Bonjour Daniel,

Tout d'abord je me permets de vous rappeler que ce forum est un forum d'aide aux élèves, et qu'il me semble plus pertinent que cela soit votre fille qui formule ses questions plutôt que vous même. Essayez de la motiver la prochaine fois.
Concernant maintenant l'exercice :

Pour la première partie, je pense que l'on attend les valeurs exactes des premiers termes des deux suites, il faudra donc refaire les calculs avec les fractions. Enfin, pour toutes les définitions que vous ne connaissez pas concernant les suites numériques, elles figurent dans le cours de votre fille (peut-être dans celui de première) voire dans son manuel. Elle doit maintenant avoir ce type de réflexe lorsqu'elle ne connait pas certains termes.

Pour la partie B :

Vous avez initialisé la récurrence au rang 1. Pour l'hérédité, vous supposez que la propriété est vraie au rang n puis vous la démontrez au rang n+1. Comme il s'agit d'établir une inégalité, il est souvent plus commode d'étudier le signe d'une différence : ici en calculant\(u_{n+1}-v_{n+1}\) on obtient \(\frac{u_n-v_n}{12}\) qui sera positif par hypothèse de récurrence, d'où le résultat souhaité.

Pour étudier la monotonie d'une suite \((u_n)\), on étudie en général le signe de \(u_{n+1}-u_n\). Ici, vous trouverez \((u_n)\) décroissante et \((v_n)\) croissante.

Pour conclure, la suite \((u_n)\) est décroissante de premier terme 13 donc elle est majorée par 13, et la suite \((v_n)\) est croissante de premier terme 1 donc elle est minorée par 1. Comme de plus \(u_n\)>\(v_n\), on a les inégalités souhaitées.

Pour les parties C et D il faudra commencer par exprimer \(w_{n+1}\) en fonction de \(w_n\) et \(t_{n+1}\) en fonction de \(t_n\) pour repérer des propriétés.

Bon courage.

SOS-math

Bonjour,
Un grand merci tout d'abord pour votre aide, concernant (Un-Vn)/12, j'en étais également à ce stade, sans savoir qu'effectivement cela pourrait bien être , la solution !!!, pour le reste effectivement, il faut examiner Wn+1 et Tn+1.
Concernant ma fille, je suis en partie d'accord avec vous, mais je crains que si elle pose le pb elle même sur le forum, elle n'aie pas une volonté suffisante de recherche préalable, d'autre part, je tiens personnellement à me recycler !!...louable initiative non ...
Merci encore.

Bonsoir Daniel,

Tout d'abord je ne peux que vous féliciter de vouloir aider votre fille ! Mais j'insiste sur le fait que cela peut être un bon exercice pour elle que de formuler les questions; nous l'aiderons autant que faire se peut dans sa démarche !
Bon courage pour la fin de l'exercice.

SOS-math

Merci beaucoup, bonne soirée à vous
Daniel