Fonctions et tableau de variations.

[Charlotte]

Bonjour, je dois effectuer les tableaux de variations des fonctions suivantes :

f(x) = \((2x^2+1)^5\) et g(x) = (2x²+2x+3)

Je sais que le sens de variation de f est donné par le signe de f'(x).
f'(x)=\(20x(2x^2+1)^4\) et là je bloque, je ne vois pas comment étudier le signe de cette dérivée.

Voilà, merci d'avance pour votre aide !!

[SoS-Math(7)]

Bonjour Charlotte,

Le calcul de la dérivée est juste et il est sous forme factorisée. Pour déterminer le signe de cette dérivée, il faut regarder le signe de chaque facteur. \(f'(x)=20x(2x^2+1)^4\) que peux-tu dire du signe de \((2x^2+1)^4\) ?

Bonne continuation

[Charlotte]

\((2x^2+1)^4\) est toujours positif.

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Effectivement, cette conclusion devrait te permettre de trouver le signe de f'. Je te laisse réfléchir et terminer ton travail.

Bonne continuation.

[Charlotte]

Donc f'(x)<0.
C'est cela ?

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Non Charlotte, f' n'est pas toujours négative, cela dépend du signe de "x". Reprends, calmement, l'étude du signe de cette fonction, il n'y a rien de difficile.

Bonne continuation.

[Charlotte]

Ah oui c'est tout bête, f'(x) est positif lorsque x est positif et négatif dans la cas contraire. Donc de -inf à 1 f est décroissante et de 1 à +inf croissante.
C'est cela ?

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Le signe de ta dérivée dépend effectivement uniquement du facteur \(20x\), donc tu as raison sur le signe de la dérivée mais attention aux intervalles c'est \(]-\infty;0]\) et \([0;+\infty[\)

[Charlotte]

Ah oui je me suis tromper, c'est f(0)=1.

Pour la fonction g, je trouve g'(x) =\(\frac{4x+2}{2{\sqrt{(2x^2+2x+3)}}\).
Le numérateur est toujours positif et le numérateur est positif pour x différent de -1/2.

[sos-math(21)]

Pas tout à fait d'accord,
Le numérateur change de signe en fonction de \(x\) : résous \(4x+2>0\) et tu verras.
En revanche le dénominateur est toujours strictement positif (calcule le discriminant du polynôme sous la racine pour t'en convaincre)
Donc le signe de la dérivée se ramène bien à celui du numérateur.

[Charlotte]

Pour le numérateur : lorsque x>-1/2 le numérateur est positif et négatif le reste du temps, c'est cela ?

[SoS-Math(4)]

Oui, c'est ça.

sosmaths

[Charlotte]

Ensuite on fait un tableau de signe ?

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Oui Charlotte, il te reste le tableau de signes à faire.

Bonne continuation

[Charlotte]

D'accord. Merci infiniment pour votre aide.
A la prochaine.