SOS-MATH

Bonjour.

Je bloque sur cet exercice.

Soit la fonction \(f(x) = \frac{1}{2}(x+(1-x)e^{2x})\). On note C la courbe représentant la fonction f.

On devait montrer que la droite \(d:y=\frac{x}{2}\) est asymptote à C en - l'infini.

\(\lim_{x \to -\infty}f(x) - (\frac{x}{2}) = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{2x} - x{e^{2x}}}{2} = 0\)

Je pense avoir réussi cette première étape.
Mais je n'arrive pas à prouver que l'asymptote est au dessus de C (car je l'ai vue sur la calculatrice).

Merci de votre aide.

Bonjour,
si on regarde la tête de la fonction,
on a bien \(f(x)-\frac{x}{2}=\frac{1}{2}(1-x)e^{2x}\),
Il s'agit pour établir le caractère asymptote de la droite d'évaluer la limite de cette différence.
Ton cours sur les croissances comparées te permet de dire que l'exponentielle est plus forte que \((1-x)\) en \(-\infty\) donc que c'est elle qui "gagne" donc \(\lim_{x\mapsto-\infty}\frac{1}{2}(1-x)e^{2x}=0\).
Maintenant pour la position, il suffit d'étudier le signe de cette différence au voisinage de \(-\infty\) :
si \(f(x)-\frac{x}{2}>0\), la courbe est au-dessus de l'asymptote et si \(f(x)-\frac{x}{2}<0\), c'est le contraire.
A toi de jouer