SOS-MATH

Bonjour, j'aimerai avoir quelques pistes pour résoudre cet exercice où je bloque complétement. Voici l'énoncé :

f(x)=\(\frac{x^2+3x-1}{x-1}\), g(x)=\(\frac{x^3+3}{x^2-1}\) et h(x)=\(\frac{x^3+3x^2-2}{x^2-7x-1}\)

Pour chaque fonctions :
1. Conjecturer à l'aide d'une calculatrice l'existence et l'équation d'une asymptote oblique pour la courbe représentative de f, g et h en -\(\infty\) et en +\(\infty\).
2. Prouver alors que cette droite est bien asymptote à la courbe.
3. Étudier la position de la courbe par rapport à l'asymptote.

Je bloque déjà pour la première question, je ne vois pas comment trouver avec la calculatrice une asymptote oblique...

Merci de votre éventuelle aide !

Bonjour David,

1) Il faut tracer sur ta calculatrice (ou ordinateur) la courbe de f, puis tracer une droite d'équation y = ax+b et enfin observer si la droite est asymptote à la courbe de f !
Pour cela tracer plusieurs droites ...
Aide : Pour la fonction f, je te donne le cofficient directeur de la droite : a = 1.

2) Ta droite d'équation y=ax+b sera asymptote à ta courbe en \(+\infty\), si \(\lim_{x \to +\infty}f(x)-(ax+b)=0\).

3) Pour étudier la position de deux courbes de fonction f et g, il faut étudier le signe de f(x)-g(x). Donc ici il faut étudier le signe de f(x)-(ax+b).

Bon courage,
SoSMath.

D'accord, alors pour la question 1 et pour f : je propose y=x+3 en -inf et y=x+5 en +inf comme asymptote oblique ...

Bonsoir David,

Non, tes asymptotes "ne marchent pas", je les ai tracé avec mon logiciel et cela ne convient pas !
De plus si tu fais la démonstration comme indiqué à la question 2), tu verras que cela ne va pas.
Je t'aide à nouveau : on a la même asymptote en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

SoSMath.

J'ai l'impression que y=x+3 ça marche ..

David,
je ne sais pas avec quelle machine tu traces tes courbes .... il faut être plus observateur.
Tu peux tracer tes courbes avec Geogebra (logiciel gratuit), par exemple, pour une meilleur observation !
Maintenant, essaye avec la droite d'équation y=x+4 !

SoSMath.

C'est avec une calculatrice que je les ai tracé mais le problème c'est que j'avais une mauvaise fenêtre c'est pourquoi je ne voyais qu'un morceau de la courbe et sur ce morceau y=x+3 ça marchait ...

2. Pour f(x)-(ax+b) je trouve 3/(x-1) la limite de ceci est bien 0 que x tende vers + ou - inf.

C'est bien David.
Essaye maintenant tout seul pour les deux autres fonctions.

Bon courage,
SoSMath.

3. pour f : pour avoir la position de la courbe par rapport à l'asymptote, on étudie le signe de 3/(x-1) : positif si x>1 et négatif dans le cas contraire.

1. pour g : d'après la calculatrice, Cg a une asymptote oblique en + et - l'inf d'équation y=x
2. pour g : f(x)-(ax+b)=(x+3)/(x²-1) et la limite de cela est bien 0 que x tende vers + ou - l'inf
3. pour g : on fait un tableau de signe et ça donne : (x+3)/(x²-1) négatif sur ]-inf;-3] et ]-1;1[ et positif sur [-3;-1[ et ]1;+inf[.

Par contre pour la fonction h je bloque de renouveau car quand je la trace sur la calculatrice je remarque qu'il y a un "espace vide" entre x=-3 et x=-1 ... donc je ne sais pas trop comment conjecturer l'asymptote oblique ...

Merci.

Bonjour David,

Pour la fonction g, tes résultats sont exacts.

Pour ta fonction h, il faut changer la fenêtre graphique de ta calculatrice pour pouvoir observer l'asymptote.
L'asymptote est difficile à observer ! Pour ton équation y=ax+b, je te donne a=1, à toi de trouver b (essaye plusieurs valeurs).

SoSMath.

Je propose y=x+5...

David,
pour savoir si ta proprsition est juste calcule la limite en \(+\infty\) de f(x) - (x+5) ....

SoSMath.

La limite de f(x)-(x+5) c'est 0. Donc ça marche.