Lieu Géométrique.
Posté : sam. 18 sept. 2010 06:14
Bonjour à tous, j'ai un très gros problème avec un exercice de Math, et je bloque complètement...
Voici l'énoncé:
Soit f la fonction définie, pour tout réel x ≠ 1, par :
f(x) = x^3 / (x-1)²
Et C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal (O, i, j).
1°) Etudier les variations de la fonction f
2°) Déterminer des réels a, b, c et d tels que, pour tous réel x ≠ 1 :
f(x) = ax + b + [ (cx + d) / (x – 1)² ]
En déduire la position de la courbe C par rapport à la droite D d’équation y = x + 2.
3°) Déterminer l’abscisse du point J de la courbe C en lequel la tangente est parallèle à la droite D, puis une équation de cette tangente T.
4°) Tracer la courbe C et les droites D et T.
5°) a) A l’aide graphique, étudier, suivant les valeurs du paramètre p, le nombre de solution de l’équation : f(x) = x + p.
b) Préciser l’ensemble D des valeurs de p pour lesquelles cette équation admet deux solutions distinctes.
6°) Lorsque la droite Δ d’équation y = x + p coupe la courbe C en deux points M et N, on note P le milieu le milieu de [MN].
On s’intéresse au lieu géométrique du point P.
a) Démontrer que les abscisses des points d’intersection M et N sont les solutions de l’équation (E) (p-2)x² + (1-2p)x + p = 0.
b) En déduire que l’abscisse du point P est :
xP = 1 + [ 3 / (2p – 4) ]
et démontrer que P appartient à la courbe C d’équation :
y = x + 2 + [ 3 / 2(x – 1) ]
c) Quel est l’ensemble décrit par xP lorsque p décrit D ?
d) Etudier les variations de la fonction g définie, pour tout réel x ≠ 1, par :
g(x) = x + 2 + [ 3 / 2(x – 1) ]
et tracer la courbe C’.
Préciser la partie de la courbe C’ décrite par le point P lorsque la droite Δ prend toutes les positions possibles.
Voici mes réponses:
1°) Pour cette question, j'ai tout d'abord calculé la dérivé de la fonction.
Je trouve f'(x) = [ x² (x² - 4x + 3) ] / [ (x-1)^4 ]
Puis, j'étudie le signe. On sait que (x-1)^4 est toujours positif, il s'annule pour la valeur x = 1 et que x²(x²-4x+3) avec x² étant aussi toujours positif donc il suffit d'étudier la fonction polynôme. On calcul le discriminant et on trouve deux solutions: x=3 et x=1.
Ainsi, on peut dresser le tableau de variation suivant :
http://www.weplug.com/images_1/6133c84f ... 050900.jpg]http://www.weplug.com/images_1/6133c84f ... 050900.jpg
Mais pour le reste, je bloque complètement..
Merci d'avance pour votre aide et vos conseils!
Voici l'énoncé:
Soit f la fonction définie, pour tout réel x ≠ 1, par :
f(x) = x^3 / (x-1)²
Et C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal (O, i, j).
1°) Etudier les variations de la fonction f
2°) Déterminer des réels a, b, c et d tels que, pour tous réel x ≠ 1 :
f(x) = ax + b + [ (cx + d) / (x – 1)² ]
En déduire la position de la courbe C par rapport à la droite D d’équation y = x + 2.
3°) Déterminer l’abscisse du point J de la courbe C en lequel la tangente est parallèle à la droite D, puis une équation de cette tangente T.
4°) Tracer la courbe C et les droites D et T.
5°) a) A l’aide graphique, étudier, suivant les valeurs du paramètre p, le nombre de solution de l’équation : f(x) = x + p.
b) Préciser l’ensemble D des valeurs de p pour lesquelles cette équation admet deux solutions distinctes.
6°) Lorsque la droite Δ d’équation y = x + p coupe la courbe C en deux points M et N, on note P le milieu le milieu de [MN].
On s’intéresse au lieu géométrique du point P.
a) Démontrer que les abscisses des points d’intersection M et N sont les solutions de l’équation (E) (p-2)x² + (1-2p)x + p = 0.
b) En déduire que l’abscisse du point P est :
xP = 1 + [ 3 / (2p – 4) ]
et démontrer que P appartient à la courbe C d’équation :
y = x + 2 + [ 3 / 2(x – 1) ]
c) Quel est l’ensemble décrit par xP lorsque p décrit D ?
d) Etudier les variations de la fonction g définie, pour tout réel x ≠ 1, par :
g(x) = x + 2 + [ 3 / 2(x – 1) ]
et tracer la courbe C’.
Préciser la partie de la courbe C’ décrite par le point P lorsque la droite Δ prend toutes les positions possibles.
Voici mes réponses:
1°) Pour cette question, j'ai tout d'abord calculé la dérivé de la fonction.
Je trouve f'(x) = [ x² (x² - 4x + 3) ] / [ (x-1)^4 ]
Puis, j'étudie le signe. On sait que (x-1)^4 est toujours positif, il s'annule pour la valeur x = 1 et que x²(x²-4x+3) avec x² étant aussi toujours positif donc il suffit d'étudier la fonction polynôme. On calcul le discriminant et on trouve deux solutions: x=3 et x=1.
Ainsi, on peut dresser le tableau de variation suivant :
http://www.weplug.com/images_1/6133c84f ... 050900.jpg]http://www.weplug.com/images_1/6133c84f ... 050900.jpg
Mais pour le reste, je bloque complètement..
Merci d'avance pour votre aide et vos conseils!
