SOS-MATH

Bonjour

Je suis en train de travailler sur les nombres complexes et les transformations mais je n'arrive pas à commencer cet exercice.

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal (O,\(\overrightarrow{u}\),\(\overrightarrow{v}\)), on considère l'application f qui, au point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z'=z²-4z
1) Montrer que, si deux points ont la même image par f, ils sont confondus ou symétriques par rapport à un point que l'on précisera.
2) Soit I d'affixe -3. Montrer que OMIM' est un parallélogramme si et seulement si z²-3z+3=0. Déterminer les points M qui conviennent.
3) Exprimer z'+4 en fonction de z-2. En déduire une relation entre les modules et les arguments de ces nombres.
4) Soient J(2) et K(-4). Montrer que l'image par f du cercle de centre J et de rayon 2 est incluse dans un cercle que l'on précisera.
5) Soit E(-4-3i). Donner la forme trigonométrique de zE+4 et montrer qu'il existe deux points dont l'image par f est E.

Pouvez-vous m'aider à commencer cet exercice.
Merci beaucoup pour votre aide.

Bonjour ... (je ne connais pas ton prénom)
Qu'est-ce que tu as fait de la première question ?
As-tu écrit que les deux nombres complexes \(u\) et \(v\) ont même image, c'est à dire \(f(...) =f(...)\) ?
Bon courage.

Bonjour

J'avais trouvé que f(u)=f(v)
Mais je ne vois pas comment répondre à la question à partir de là, je ne la comprends pas très bien.

A bientôt
Antoine

Bonjour,
f s'applique à des points du plan ; Soit M d'affixe u et N d'affixe v

f(M)= f(N) équivaut à u'=v' équivaut à u'-v'=0

Maintenant tu vas calculer u'-v' en utilisant la définition de f:

u'-v'=.....

A la fin du calcul tu peux factoriser donc obtenir un produit de deux facteurs, qui est nul.
bon courage
SOSmaths

Bonsoir Antoine
Ah mais tu fais une faute d'écriture.
C'est très bien de dire \(f(u)=f(u')\)
mais il faut les calculer correctement !
En effet si \(f(z)=z^2-4z\)alors \(f(u)=...\)? et \(f(u')=...\)?
A bientôt Antoine.

Bonjour

Je trouve donc f(u)=f(u') avec f(u)=u²-4u et f(u')=2u-4

Mais où cela nous menne t-il?
Est-ce que je dois tenir compte de ce votre collègue m'a dit juste avant?
Ca m'embrouille un peu car ce sont 2 mérhodes différents et je sais pas comment les mélanger.

En tout cas je vous remercie beaucoup, votre forum est vraiment très bien.

Bon, on reprend, on s'est trompés tous les deux.
Ce n'est pas \(f(u)=f(u')\) que je voulais dire c'est \(u'=f(u)\) et \(v'=f(v).\)
Tu dis que \(u'=f(u)=u^2-4u\) et c'est juste.
Ensuite tu fais pareil avec \(v'=f(v)\) puis tu calcules \(u'-v'\)
Bon courage, et désolé de t'avoir embrouillé.
A bientôt.

Bonsoir

Excusez-moi pour toutes les erreurs de frappe dans mon message précédent.
u'-v'=u²-4u-v²+4v=4(v-u)+u²-v²

Je ne vois toujours pas comment à partir de cela on peut résoudre la question.

Merci beaucoup
A bientôt

Bonsoir Antoine
Ton résultat 4(v-u)+u²-v²= -4(-v+u)+u²-v²= est correct ; il ne te reste plus qu'à relire la question :

Montrer que, si deux points ont la même image par f, ils sont confondus ou symétriques

C'est à dire :

si f(u)=f(v) alors u et v sont égaux ou symétriques

Et on t'a déjà dit comment faire (message du 08 Déc 2007 03:40 pm) :

A la fin du calcul tu peux factoriser donc obtenir un produit de deux facteurs, qui est nul.

Bon courage pour la factorisation : ne pas oublier que -v+u=u-v (c'est un peu nul comme niveau de mathématiques de terminale, mais ça peut quand même servir).
Aller, bon courage, Antoine !

Bonjour
J'ai réussi à avancer dans l'exercice.
Voici ce que j'ai trouvé.
1)J'ai terminé la démonstration
2)J'ai montré que OMIM' est un parallélogramme si et seulement si z²-3z+3=0. Les points M qui conviennent sont M d'affixe 3/2-i\(\sqrt{3}\)/2 et M d'affixe 3/2+i\(\sqrt{3}\)/2
3)J'ai trouvé que z'+4=(z-2)²
|z'+4|=|z-2|²
arg(z'+4)=2arg(z-2)+2k\(\pi\)
4)l'image par f du cercle de centre J et de rayon 2 est incluse dans le cercle de centre K(-4) et de rayon (je l'ai démontré)
5)zE+4=3e^(-i\(\pi\)/2)
Je n'arrive pas à finir cette question

Merci beaucoup pour votre aide
Antoine

Bonjour Antoine
Tu as beaucoup avancé !
Tout ce que tu as fait est correct (je suppose) ; le rayon à la question 4) est \(4\), évidemment.
Pour la question 5) il faut chercher les nombres \(z\) dont l'image par \(f\) est \(z_E\) ; donc on écrit :
\(f(z)=z_E\)
puis on résout ; on calcule\(\Delta\) et on utilise la forme trigo que tu as calculée.
Bon courage.