problème d'algèbre linéaire
Posté : dim. 5 sept. 2010 11:14
Bonjour sos-math,
J'ai posté un topic précédemment mais j'ai finalement trouvé la réponse, donc j'en poste un autre pour une autre question;
l'énoncé est le suivant:
----------------------------------------------------------------------
Soit E un espace vectoriel de dimension 3 sur IR, u un endomorphisme de E, a et b deux nombres réels distincts.
On note :
e l'application identique de E, v l'endomorphisme u - ae, w l'endomorphisme u - be, M1 le noyau de v, M2 le noyau de vov, N1 le noyau de w.
Partie I
On suppose que vovow = 0, que vow \(\neq\) 0, et que M1 et N1 ne sont pas réduits à {0}.
1) Démontrer que M1\(\subset\) M2 et que M1 \(\neq\) M2
2) Démontrer que E = N1 \(\bigoplus\)M2 et préciser les dimensions de M1, M2, N1.
3) Soit \(\bar{v}\) la restriction de v à M2. Que dire de \(\bar{v}\) o \(\bar{v}\) ?
4) Déterminer le noyau et l'image de \(\bar{v}\).
5) Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est \(\( \array{a&1&0\\0&a&0\\0&0&b}\)\)
Partie II
On suppose que, relativement à une base donnée de E, u a pour matrice
A= \(\( \array{8&-1&-5\\-2&3&1\\4&-1&-1}\)\)
1)Calculer \(A^2-6A+8I\) et \(A^3-10A^2+32A-32I\), où I est la matrice identité de\(M^3(IR)\).
2) En déduire qu'il existe deux nombres réels a et b (a>b) pour lesquels les hypothèses de la partie I sont vérifiées.
3)Déterminer une base respectivement de \(M_1\), \(M_2\)et de \(N_1\).
4)Déterminer une base de E par rapport à laquelle l'endomorphisme u a pour matrice J=\(\( \array{4&1&0\\0&4&0\\0&0&2}\)\)
5) calculer \(J^n\), puis\(A^n\) pour n \(\in\) N*
--------------------------------------------------------------------------
J'ai fait la partie I et je suis à la question 2) de la partie II.
1) A^2-6A+8I=\(\( \array{6&0&-6\\-6&0&6\\6&0&_6}\)\)
et\(A^3-10A^2+32A-32I=0\)
2) En déduire qu'il existe deux nombres réels a et b (a>b) pour lesquels les hypothèses de la partie I sont vérifiées.
j'avoue ne pas savoir comment procéder.
Merci d'avance.
J'ai posté un topic précédemment mais j'ai finalement trouvé la réponse, donc j'en poste un autre pour une autre question;
l'énoncé est le suivant:
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Soit E un espace vectoriel de dimension 3 sur IR, u un endomorphisme de E, a et b deux nombres réels distincts.
On note :
e l'application identique de E, v l'endomorphisme u - ae, w l'endomorphisme u - be, M1 le noyau de v, M2 le noyau de vov, N1 le noyau de w.
Partie I
On suppose que vovow = 0, que vow \(\neq\) 0, et que M1 et N1 ne sont pas réduits à {0}.
1) Démontrer que M1\(\subset\) M2 et que M1 \(\neq\) M2
2) Démontrer que E = N1 \(\bigoplus\)M2 et préciser les dimensions de M1, M2, N1.
3) Soit \(\bar{v}\) la restriction de v à M2. Que dire de \(\bar{v}\) o \(\bar{v}\) ?
4) Déterminer le noyau et l'image de \(\bar{v}\).
5) Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est \(\( \array{a&1&0\\0&a&0\\0&0&b}\)\)
Partie II
On suppose que, relativement à une base donnée de E, u a pour matrice
A= \(\( \array{8&-1&-5\\-2&3&1\\4&-1&-1}\)\)
1)Calculer \(A^2-6A+8I\) et \(A^3-10A^2+32A-32I\), où I est la matrice identité de\(M^3(IR)\).
2) En déduire qu'il existe deux nombres réels a et b (a>b) pour lesquels les hypothèses de la partie I sont vérifiées.
3)Déterminer une base respectivement de \(M_1\), \(M_2\)et de \(N_1\).
4)Déterminer une base de E par rapport à laquelle l'endomorphisme u a pour matrice J=\(\( \array{4&1&0\\0&4&0\\0&0&2}\)\)
5) calculer \(J^n\), puis\(A^n\) pour n \(\in\) N*
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J'ai fait la partie I et je suis à la question 2) de la partie II.
1) A^2-6A+8I=\(\( \array{6&0&-6\\-6&0&6\\6&0&_6}\)\)
et\(A^3-10A^2+32A-32I=0\)
2) En déduire qu'il existe deux nombres réels a et b (a>b) pour lesquels les hypothèses de la partie I sont vérifiées.
j'avoue ne pas savoir comment procéder.
Merci d'avance.