Arithmé&Anneaux
Posté : mar. 25 mai 2010 23:18
Bonsoir, en pleine révision pour le bac, je me suis attardé sur cet exercice qui semble délester l'approche quelque peu brute et "magique" des exo d'arithmétique pour essayé d'en tirer des résultats intéressant.
1) Montrer que pour tout n appartenant a |N le couple (21n+2,35n+3) est une solution de E : 5x - 3y = 1
2) Montrer que PGCD(21n+2,35n+3)=1
Soit n un nombre premier positif et soit x appartenant a Z tel que \(x^{21n+2} congrue 2 [n]\)
Montrer que x^n = 1 et que x^23 congrue vers 2 Modulo [n]
4) Soit A = {1,2....,36}Et soit f une application de A vers A tel que f(x) = x^23 mod 36
a.Montrer qu'il n'existe qu'un seule et unique d € [1,2,..35} tel que 23*d congrue vers 1 Modulo 36
b montrer que f est une application bijective de A vers A
c. Définissez l'application inverse \(f^-1(x)\)
5)Soit d=(35n+3)^(7n+1)
trouver les valeurs possibles pour d
montrer que d = 2 implique que n est impaire (si et seulement, pas d'autre cas possible)
c) trouver selon n le PGCD de
\((2-n)(7n+1)(21n+2)PGCD(2-n)(35n+3)\)
Mes réponses :
1) Fait en remplaçant les solutions dans l'équation
2)On pose le PGCD que l'on cherche a une variable que je nommerai d
cela implique que
\(d/21n+2&&d/35n+3 => d/5(21n+2)-3(35n+3) => d/1 => d=1\)
3)n est premier donc le pgcd(x,n) est égal a soit 1 soit n
Supposons qu'il soit égale a n
Cela veut dire que
\(n/x => x \equiv 0 [n] => x^{21n+2} \equiv 0 [n]\)
et cela est une contradiction.
-- je vois pas ce qu'il veulent que je fasse de plus dans la seconde partie de cette question ;
4)
a. Je l'ai travaillé comme un exo de structures, mais si quelqu'un a une réponse plus
Z/36Z est un anneaux dont les élément admettent un symétrique si x ^36 = 1
et comme nous avons 23^36=1 donc il existe un seul d appartenant a {1,2...35} pour qui 23*d congrue vers 1 modulo 36
b. Déjà , il est surjective par construction reste plus qu'a démontré qu'il est injectif ce qui m'a l'air d'être assez simple?
Pour le reste, j'en reviendrai a votre aide et merci ;).
1) Montrer que pour tout n appartenant a |N le couple (21n+2,35n+3) est une solution de E : 5x - 3y = 1
2) Montrer que PGCD(21n+2,35n+3)=1
Soit n un nombre premier positif et soit x appartenant a Z tel que \(x^{21n+2} congrue 2 [n]\)
Montrer que x^n = 1 et que x^23 congrue vers 2 Modulo [n]
4) Soit A = {1,2....,36}Et soit f une application de A vers A tel que f(x) = x^23 mod 36
a.Montrer qu'il n'existe qu'un seule et unique d € [1,2,..35} tel que 23*d congrue vers 1 Modulo 36
b montrer que f est une application bijective de A vers A
c. Définissez l'application inverse \(f^-1(x)\)
5)Soit d=(35n+3)^(7n+1)
trouver les valeurs possibles pour d
montrer que d = 2 implique que n est impaire (si et seulement, pas d'autre cas possible)
c) trouver selon n le PGCD de
\((2-n)(7n+1)(21n+2)PGCD(2-n)(35n+3)\)
Mes réponses :
1) Fait en remplaçant les solutions dans l'équation
2)On pose le PGCD que l'on cherche a une variable que je nommerai d
cela implique que
\(d/21n+2&&d/35n+3 => d/5(21n+2)-3(35n+3) => d/1 => d=1\)
3)n est premier donc le pgcd(x,n) est égal a soit 1 soit n
Supposons qu'il soit égale a n
Cela veut dire que
\(n/x => x \equiv 0 [n] => x^{21n+2} \equiv 0 [n]\)
et cela est une contradiction.
-- je vois pas ce qu'il veulent que je fasse de plus dans la seconde partie de cette question ;
4)
a. Je l'ai travaillé comme un exo de structures, mais si quelqu'un a une réponse plus
, je suis preneur ;)artimétèsque
Z/36Z est un anneaux dont les élément admettent un symétrique si x ^36 = 1
et comme nous avons 23^36=1 donc il existe un seul d appartenant a {1,2...35} pour qui 23*d congrue vers 1 modulo 36
b. Déjà , il est surjective par construction reste plus qu'a démontré qu'il est injectif ce qui m'a l'air d'être assez simple?
Pour le reste, j'en reviendrai a votre aide et merci ;).