probabilité et suite

[laura]

Bonjour , j'ai un DM de maths pour la rentrée , mais je suis bloqué .
Voici mon sujet et mes reponses :
Une urne contient autan de boules noires que de boules rouges. On en prélève n Successivement et avec remise et on considère les deux evenements suivants :
A: "on obtien des boules des deux couleurs" ; B:"on obtient au plus une boule rouge"

I ) DEux cas particuliers :
a) Cas où n=2 .
Calculer p(A) : p(A)= p(R1/N2)+P(N1/R2)= 1/4+1/4 = 1/2
calculer p(B) : p(B)= p(N1/N2)+p(N1/R2)+p(R1/N2) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4
calculer p(B/A) : = p(R1/N2)+p(N1/R2) = 1/4 +1/4 = 1/2
montrer que A et B ne sont pas independants : p(A)*p(B)=3/8 different de p(A/B)=1/2
donc pas independants

b) Cas où n=3
Meme questions : p(A)=1- p(A_)= 3/4
p(B)=1/8*4= 1/2
p(A/B)= 3*1/8 =3/8
p(A)*P(B)=3/8 =P(A/B)
donc A et B independants


II ) Cas general :
a) Calculer p(A), p(B) et p(A/B) en fonction de n

P(A)= 1- P(A_) = 1-( (1/2)^n + (1/2)^n )
p(B) = (1/2)^n * (n+1)
p(A/B) = (1/2)^n * n

b) montrer que p(A/B)= P(A)*P(B) si et seulement si 2^(n-1)=n+1
il y a dépendance si p(A/B) = p(A)p(B)
donc si:
(n+1)*(2^n - 2)*(1/4)^n = n/2^n
si et seulement si
(n+1)*(2^n - 2)*(1/4)^n - n/2^n =0
on met au même dénominateur
((n+1)*(2^n - 2)- n*2^n ]/4^n = O
on dévellope et on passe 4^n de l'autre coté
[n * 2^n -2n + 2^n -2 - n*2^n] = O
-2n -2 + 2^n = 0
-2 (n+1) = -2^n
n+1 = 2^n / 2
n+1 = 2^(n-1)


Soit la suite (Un) définie par Un=(2^(n-1))/(n+1) pour tou entier n superieur ou égal à deux .
Exprimer (Un+1)/(Un) en fonction de n, et démontrer que la suite (Un) est strictement croissante .

J'ai commencé par calculer Un+1 = 2^n/(n+2)
donc (Un+1)/(Un) = (2^n(n+1))/(2^(n-1)(n+2))

Et la je suis bloqué :/

Merci de votre aide .

PS: La notation P(A/B) signifie P(A "inter" B)

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Laura

OK pour le début, une vérification rapide et tout me parait juste.

Pour \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), simplifie par \(2^{n-1}\) puis vérifie que le quotient est plus grand que 1 en l'écrivant 1 + R où R dépend que de n et est supérieur à 0.
Donc tu peux conclure pour le sens de variation de la suite.
Calcule \(u_2\) et \(u_3\).
Compare le résultat de l'équation que tu as trouvé concernant les probabilités : \(n+1=2^{n-1}\) qui peut s'écrire \(1=\frac{2^{n-1}}{n+1}\) et conclus pour la valeur de n qui donne l'indépendance.

Bonne continuation

[laura944]

Merci de l'explication mais
je ne vois pas comment simplifier
(Un+1)/(Un) = (2^n(n+1))/(2^(n-1)(n+2)) par 2^(n-1) ?! :/

[SoS-Math(11)]

Bonjour Laura,

Tu as \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) = \(\frac{{2^n}\times{(n+1)}}{{2^{n-1}}\times{(n+2)}}\) comme \(2^n=2\times2^{n-1}\), je pense que tu peux simplifier. Termine comme je te l'ai indiqué dans le précédent message.

Bonne fin d'exercice