SOS-MATH

Bonjour

J'ai un exercice à faire sur les nombres complexes, seulement voilà, je n'arrive pas à résoudre cet éxercice :
On considère l'équation (E) : z^3 -(4+i) z^2+ (7+i)z-4 = 0
Il faut que je montre que (E) admet une solution réelle notée z1
En regardant cette équtaion, je vois bien qu'il faut que j'utilise le discriminant seulemnt, il y a un z^3.. Alors je suis bloquée, j'ai également pensé à factorisé par z mais ca ne me donne rien, et enfin j'ai essayé de faire de cette équation deux facteurs afin de pouvoir utiliser la propriété "si le produit de deux nombres complexes est nul alors il faut que l'un au moins de ses facteur soit nul" mais je n'y arrive pas.
Merci de votre aide

Susie

Bonjour,

Vous avez eu raison de chercher comme vous l'avez fait. En effet, le discriminant ne peut pas être utilisé pour la raison que vous avez évoqué.
Je reprend l'énoncé : On vous demande de démontrer qu'il existe une solution réelle, on ne vous demande pas de trouver toutes les solutions. Il suffit donc de trouver une solution réelle.
Testez donc l'expression : z^3 -(4+i) z^2+ (7+i)z-4 avec des valeurs réelles, et vérifiez si l'une d'elles vous donne zéro. Rassurez-vous, en faisant simple, vous n'aurez pas à chercher longtemps.
Bon courage.

Bonjour,
J'ai le même dm que Susie à faire et je ne comprends pas la façon que vous dites pour trouver l'unique solution de (E):z^3-(4+i)z²+(7+i)z-4=0. Merci de m'expliquer comment faire. Audrey

Bonjour Audrey
Il faut essayer de donner à \(z\) des valeurs réelles simples.
Il va y en avoir une qui est solution. Cela ne montrera pas qu'elle est unique, mais cela montrera qu'il y en a au moins une. C'est déjà ça !
Bon courage, Audrey.

Remarque : j'ai essayé avec \(z=2\) et j'ai trouvé \(2-2i\) ; est-ce que \(z=2\) est solution ?

Bonjour,

Nous avons eu le professeur de math hier et il nous à dit que ce qu'il voulait pour cette question c'est montrer qu'il y a une unique solution réelle. En remplaçant z par x, puisque un nombre réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle. J'ai donc écris :
Un nombre réelle est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle, donc :
z^3-(4+i)z^2+(7+i)z-4 =0
<=> x^3-(4+i)x^2+(7+i)x-4 =0
<=> x^3-4x^2+ix^2+7x+ix-4 = 0
<=> (x^3-4x^2+7x-4)+ i (x^2+x) = 0
Pour qu'un produit soit nul il faut que l'un au moins de ses facteur sois nul, donc
x^3-4x^2+7x-4 = 0 ou x^2+x = 0

Seulement je reste bloqué..

Merci de m'aider

Bonjour,

Tout d'abord il y a une faute de signe à la 3ème ligne du calcul. Il faut donc corriger.
Ensuite à la dernière ligne , ce n'est pas un produit mais une somme.
Ce que vous obtenez à la dernière ligne , c'est un nombre complexe ( à gauche du signe égal) qui est égal à 0.
Or : un nombre complexe nul à sa partie réelle nulle et sa partie imaginaire nulle.

Ecrivez le système qui va ressembler à celui déjà écrit sauf qu'à la place de ou il faut mettre et .
Résolvez ce système.

sosmaths

Bonjour, je suis bloquée pour une autre question de ce dm. Il faut que je détermine les deux nombres complexes a et b tels que, pour tout nombre complexe z on ait:
z^3-(4+i)z²+(7+i)z=(z-z1)(z-2-2i)(az+b) et d'après les autres questions j'ai trouvé que z1=1.
Merci de m'aider. Audrey

Bonjour Audrey
Il faut développer le membre de droite, puis faire une identification.
Attention, tu as fait une faute de frappe ; ce n'est pas
\(z^3-(4+i)z^2+(7+i)z\) mais c'est \(\color{red} \fbox{z^3-(4+i)z²+(7+i)z-4}\)
Bon courage, Audrey.

Bonsoir,

Oui x=1 est la solution réelle.

Pour votre question, il faut développer le coté droit de l'égalité et ordonner suivant les puissances décroissantes , comme celà : Az^3 +Bz²+Cz+D
à vous de trouver A, B, C, D en développant.

Ensuite, identifiez les coefficients avec le membre de gauche.

1=A
-4-i=B etc

Résoudre le système obtenu pour trouver a et b.

Bon courage
sosmaths

Bonjour,
Je n'arrive pas à déterminer a et b alors que j'ai fait ce que vous m'avez dit. J'ai trouvé A=1, B= 2+2i et C=-b/a. Et ensuite je reste bloquée. Merci de m'aider. Audrey

Bonjour Audrey
\(A=1\) est exact mais \(B\) est faux.
Envoie nous le membre de droite développé puis écrit suivant les puissances de \(z.\)
A bientôt.

Pour trouver A, B et C, en fait j'ai pris l'expression (z-z1)(z-2-2i)(az+b) =0 et j'ai fait z-1=0, soit z-2-2i=0, soit (az+b)=0 et j'ai résolu mais je ne comprends pas pourquoi il faut développer le membre de droite. Mais je trouve (z-2-2i)(az+b)= az²-zb-2az-2b-2iaz-2ib et je ne vois pas ce qu'il faut faire avec ça. Merci de m'aider. Audrey

Ah, voilà le problème, tu le poses très bien. maintenant on peut t'aider !
Tu confonds deux problèmes différents :
- résoudre \(0=(z-1)(z-2-2i)(az+b)\)
- identifier \(z^3-(4+i)z^2+(7+i)z-4=(z-1)(z-2-2i)(az+b)\)
Dans le premier problème, tu dois chercher z pour que le produit \((z-1)(z-2-2i)(az+b)\) soit égal à \(~0\) ; donc il suffit qu'un au moins des facteurs soit nul, donc 3 cas \(z=1\), \(z=2+2i\)et \(z=-\frac{b}{a}\)
C'est tout à fait parfait, mais ce n'est pas ce qui est demandé.
En effet, il faut résoudre le second problème, c'est à dire non pas rechercher z pour que l'égalité soit vraie, mais rechercher a et b, pour que l'égalité soit vraie pour toutes les valeurs de \(\bold {\color{red} z}\). Et ce second problème se résoud à l'aide de ce que l'on appelle une identification.
Par exemple :
Identifier \(az^3+bz^2-4=3z^3+cz+d\), c'est dire :
les deux polynomes \(az^3+bz^2-4\) et \(3z^3+cz+d\) sont égaux pour toutes les valeurs de z, si les coefficients des monomes de même degré sont égaux.
Comment fait-on ? On les écrit ainsi :
\(az^3+bz^2+0z-4=3z^3+0z^2+cz+d\)
et il vient : \(\left\lbrace\begin{array}{l} a=3 \\ b=0 \\ 0=c \\ -4=d \end{array}\right.\)
Voilà ce qu'il faut faire avec l'égalité :\(z^3-(4+i)z^2+(7+i)z-4=(z-1)(z-2-2i)(az+b)\)
C'est pour cela qu'il faut developper le membre de droite, puis l'écrire suivant les puissances de z pour faire la correspondance (on dit identifier) avec le membre de gauche.
Bon courage Audrey !

Merci beaucoup de votre explication, ça m'a beaucoup aidé et j'ai tous compris.
Audrey

Pas de quoi, Audrey !
Donne tes résultats, j'espère que tu trouves comme moi ! 8-)