DM Complexe

[Pierre]

Bonsoir, voilà j'ai un problème avec mon exercice il y a quelques questions où je ne n'arrive pas à réussir.
Voici le Sujet :

Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormé direct ( O; u ; v ). L'unité graphique est 4cm.
1) On considère dans C l'équation suivante : (E) : z^3 - 8z² + 24z - 32 = 0
a) Vérifier que z0 = 4 est solution de (E). Déterminer trois réels a, b et c tels que (E) s'écrive:
(E) : (z-4)(az²+bz+c)
b) Résoudre (E). On notera z1 la solution dont la partie imaginaire est positive et z2 la solution dont la partie imaginaire est négative. Donner la forme exponentielle de z1 et z2.

c) Démontrer que les images respectives Mo, M1 et M2 de z1, z2 et z3 sont sur le cercle (C) de centre Ω d'affixe ω=2 et de rayon à déterminer. Placer les points et le cercle dans le repère.


2) On considère la transformation f du plan qui à tout point M d'affixe z, distinct de O, associe le point M' d'affixe z' tel que : z' = 1/z
a) Déterminer l'ensemble des points M invariant par f.
b) Démontrer que pour tout point M, distinct de O, les points O, M et M' sont alignés et que OMxOM' = 1
c) Calculer les affixes des points M0', M1' et M2' image par f des points M0, M1 et M2. Placer les trois images sur la figure.
d) Soit M3 l'image de M1 par la rotation de centre Ω et d'angle π /6.
Calculer l'affixe z3 de M3, puis l'affixe de M3' image de M3 par f. Placer M3' sur la figure.
e) Quelle conjecture peut-on faire au sujet de l'image du cercle (C) par f ?

Voilà, je n'ai réussi à faire que la question 1)a et b et 2)b .
Pouvez-vous m'aider en m'explicant les autres questions svp.
Merci d'avance.

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
1) On considère dans C l'équation suivante : (E) : z^3 - 8z² + 24z - 32 = 0
a) Vérifier que z0 = 4 est solution de (E). Déterminer trois réels a, b et c tels que (E) s'écrive:
(E) : (z-4)(az²+bz+c)
Pour déterminer a, b et c, vous devez développer (z-4)(az²+bz+c)
(z-4)(az²+bz+c) = az^3-4az²+bz²..........= az^3+(b-4)z².............

(z-4)(az²+bz+c) = z^3 - 8z² + 24z - 32 équivaut à az^3+(b-4)z².............= z^3 - 8z² + 24z - 32
Cette égalité sera vraie pour tout z si et seulement si a, b et c sont solutions du système
a=1 ; b - 4= -8 etc .......
A vous de compléter et de continuer.
Bon courage

[Pierre]

Merci bien pour cette réponse mais je l'ai déjà trouver et c = 8
C'est à partir de la question 1)c que je suis bloquer

[SoS-Math(2)]

Bonjour Pierre,
vous devez montrer que ΩMo=ΩM1=ΩM2
Cela prouvera que les trois points sont équidistants de Ω et vous donnera le rayon du cercle.
Je vous rappelle que AB=|ZB-ZA|
Bon courage

[Pierre]

dsl mais je n'arrive pas à voir comment démontrer celà, on ne connait rien de M0 M1 et M2 , on sait juste ( ce que j'ai trouver à la question précédente) que la forme expo de z1 = 2 racine de 2 e iπ/4 et z2 = 2 racine de 2 e -iπ/4

[SoS-Math(2)]

Pierre, avant de trouver la forme exponentielle, vous avez bien trouvé la forme algébrique
Alors utilisez la
A bientôt

[Pierre]

Oui j'avais trouvé z1 = 2+2i et z2 = 2- 2i mais je ne vois pas comment faire , vous me dîtes de montrer que ΩMo=ΩM1=ΩM2 je ne vois pas comment trouver les points M0 M1 et M2

[SoS-Math(2)]

Bonsoir Pierre, vous n'avez pas bien lu le texte!

Démontrer que les images respectives Mo, M1 et M2 de z1, z2 et z3

l'affixe de Mo est z1, celle de M1 est z2 et celle de M2 est Z3
ΩMo = |z1-ω| = |z1 -2| = |2+2i - 2| = ........
A vous de continuer

[Pierre]

Ok d'accord, pour ΩMo et ΩM1 je trouve 2i, mais pour ΩM2 je trouve pas, on ne connait pas z3, je penssé que c'était 4 (avec z - 4 ) dans (E) ) mais sa ne donne pas le même résulat.

[SoS-Math(2)]

Bonjour Pierre,

la longueur ΩMo c'est le module de 2i c'est à dire .....
La troisième solution de l'équation est bien 4
A vous de continuer

[Pierre]

oui donc ΩMo = I 2i I = 2, pareil pour ΩM1 = 2 mais ΩM2 = 4, sa ne va, ils doivent être égal non ? pour être sur le cercle

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
attention Pierre , ΩM2 = |Z3 - 2| = |4-2| = .....
Bon courage pour la suite

[Pierre]

ok j'ai compris. Pour la question 2)a) je bloque aussi, pouvez-me dire par quoi commencer

[SoS-Math(2)]

Bonjour Pierre,
un point est invariant par une transformation quand son image c'est lui même.
Donc ici M sera invariant si et seulement si z'=z donc ssi z=1/z
vous avez donc une équation à résoudre
A vos crayons!

[Pierre]

Je me suis trompé dans l'énonce, z' = 1/z barre
donc il faut montrer que z' = z
z= 1/z barre
J'ai essayer de le faire en passant au module, ça me donne:
I z I = I 1/zbarre I
I z I = I 1 I / I zbarre I
I z I = 1 / I z I
mais là je suis bloquer, je suis pas sur s'il faut faire quelque chose comme sa