Integrales

[Coralie (S)]

Bonsoirs,
Je bute sur une question:

Montrez que pour tout réel t\(\geq\)0, on a ln(1+t)\(\leq\)t. (On pourra étudier les variations de la fonction g définie sur [0;+\(\infty\)[ par g(t)=ln(1+t)-t)

Je vous remercie par avance.
Coralie

[sos-math(19)]

Bonsoir Coralie,

As-tu suivi le conseil que tu as mis entre parenthèses.

On pourra étudier les variations de la fonction g définie sur \([0;+\infty[\) par \(g(t)=\ln(1+t)-t\)

Il faut commencer par là et montrer ce que tu as fait.

A bientôt.

[Coralie]

Bonjours,
Oui j'ai essayé
J'aurais voulu faire un tableau de variation mais on a une soustraction, donc ça me bloque dans ma démarche

[sos-math(19)]

Bonsoir Coralie,

On attend le calcul de g'(t).
La dérivée d'une différence, c'est la différence des dérivées (comme pour une somme).

Ensuite l'étude du signe de cette dérivée sur \([0;+\infty[\),
puis les variations de g
et enfin l'étude du signe de g(t).

A bientôt.

[Coralie]

Ha oui il est vrai que je n'avais pas pensé à faire la dérivée, ce qui est bete de ma part !
Je vous remercie, j'ai réussis à faire ma question !
Dans la suite de l'exercie, j'ai une question: j'ai juste une erreur de signe mais je ne trouve pas où j'ai pu faire l'erreur

On a \(\frac{e^(-x)}{e^(-x)+1}\) \(\leq\) ln(1+\(e^{-x}\)) \(\leq\) \(e^{-x}\)
d) Montrer que ln \(\frac{2}{1+e^(-1)}\) \(\leq\) I \(\leq\) 1-\(e^{-1}\)
e) En déduire un encadrement de I d'amplitude 0,4 par deux nombres décimaux.

Alors pour la question d), j'ai utilisé la linéarité de l'intégrale, puis j'ai primitivé et je trouve -ln \(\frac{2}{1+e^(-1)}\) \(\leq\) I \(\leq\) -1-\(e^{-1}\) Donc il y a une erreure de moins des 2 cotés de l'encadrement que je n'arrive pas à résoudre.
En ce qui concerne la question e), je ne comprend pas la consigne avec l'amplitude 0,4 !!!

J'attend votre réponse avec impatience et vous remercie par avance.
Coralie.

[SoS-Math(2)]

Bonjour Coralie,
vous avez oublié de nous dire les bornes de l'intégrale.
A bientôt

[Coralie]

Ha oui escusez moi,
mon intégrale c'est : \(\int_{0}^{1}f(x)dx\) avec f(x) = ln(1+\(e^{-x}\))
Coralie

[SoS-Math(2)]

Bonjour Coralie,
vous avez du faire une erreur dans vos primitives
La primitive de la fonction de gauche est \(-ln(e^{-x}+1)\) et la primitive de celle de droite est \(-e^{-x}\)
A vous de continuer