DM sur les intégrales

[Coralie (Scientifique)]

Bonjours,
j'ai un DM de maths sur les intégrales à rendre pour la rentrée mais j'ai beaucoup de mal avce ce chapitre
Votre aide me sera le bienvenue

Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x²\(e^{1-x}\)
Soit n un entier naturel non nul. On considère l'intégrale \(\I_{n}\) définie par:
\(\I_{n}\)=\(\int_{0}^{1}x^{n}\)\(e^{1-x}\) dx
a) Etablir une relation entre \(\I_{n+1}\) et \(\I_{n}\)
b) Calculer \(\I_{1}\), puis \(\I_{2}\).
c) Donner une interprétation graphique du nombre \(\I_{2}\).

Je vous remercie.
Coralie.

[sos-math(19)]

Bonsoir Coralie,

Pour établir la relation de récurrence entre \(\I_{n+1}\) et \(\I_n\), tu passes par la formule d'intégration par parties.

A toi.

[Coralie (Scientifique)]

Oui c'est bien ce que j'ai essayé de faire mais ça ne fonctionne toujours pas car il faudrait réintégrer par parties continuellement pour au final, na aps avoir beaucoup avancé
Car je prenais u(x)=e^(1-x) et v'(x)=x^n
donc u'(x)=-e^(1-x) et v(x)=x^(n+1)/(n+1)
donc du coup quand on utilise la formule de l'intégration par partie, il faut réintrégrer le dernier terme par partie etc...
Pourriez-vous m'éclairer?
Je vous en remercie, Coralie.

[Coralie (Scientifique)]

C'est bon j'ai réussis, en fait je n'avais pas pensé à sortir la constante (n+1) !!
En revanche j'ai une dernière question

a) Demontrer que pour tout nombre réel x de [0;1] et pour tout entier naturel n non nul, on a l'inégalité suivante:
x^n\(\leq\)x^n e^(1-x) \(\leq\)ex^n
b) En déduire un encadrement de In puis la limite de In quand n tend vers + \(\infty\).

J'ai démontré l'inégalité, pour l'endrement j'ai inséré l'intégral. En revanche la limites je ne sais pas comment la trouver

Merci, Coralie.

[sos-math(19)]

Bonsoir Coralie,

\(x^n\leq{x^n}\times{e^{(1-x)}}\leq{ex^n}\)

Si tu as démontré cet encadrement, tu appliques la compatibilité de l'intégration avec l'ordre.
A partir de cet encadrement, tu dois prendre l'intégrale de chaque membre entre 0 et 1.
Le membre du milieu n'est autre que \(\I_n\).
Tu calcules la première et la troisième intégrale et, pour la limite, tu appliques le théorème des gendarmes.

Bon courage.

[Coralie (Scientifique)]

Oui je vous remercie beaucoup.
Coralie