SOS-MATH

Bonjour, j'ai un exercice de mathématiques où je dois prendre toutes les initiatives, or je ne sais pas trop par où commencer, voici l'énoncé :

" La suite (Un), définie pour tout entier naturel non nul n, par Un = n(e^(1/n) - 1) est-elle convergente ? "

Dois-je regarder si elle est croissante ou décroissante, en étudiant la dérivée de la fonction Un = f(n) ? Puis regarder si elle est minorée ou majorée selon qu'elle soit croissante ou décroissante ? Et si oui, comment dois-je m'y prendre ?

Merci d'avance pour vos conseils.

Bonsoir,
C'est une méthode mais elle est dans ce cas difficile à mettre en pratique. Le signe de la dérivée de la fonction n'est pas facile à étudier.
vous avez Un= f(n) avec f fonction définie sur R+ par f(x) = x(e^(1/x)-1)
La suite Un a les mêmes variations que f mais aussi si f a une limite à l'infini , (Un) a la même limite.
Donc vous devez étudier la limite de f en +00
Bon courage

On tombe sur une forme indeterminée. Dois-je factorisé par le terme de plus haut degré ( ici e^(1/x) ? ) afin de pouvoir calculer la limite ?

Marie, avez-vous vu en cours la limite de (e^h-1)/h quand h tend vers O?
(ou la limite de (e^x-1)/x quand x tend vers 0)?
A bientôt

Oui, cette limite est égale à 1 c'est bien ça ?
Alors si je vous suis :
On a Un = n(e^(1/n) - 1) = (e^(1/n) - 1) / (1/n)

En posant x = 1/n
la limite de 1/n quand n tend vers +infini donne 0
la limite de (e^(x) - 1) / (x) quand n tend vers 0 donne 1
la limite de (e^(1/n) - 1) / (1/n) quand n tend vers +infini donne donc 1

Mais que dois-je faire ensuite avec cette limite ?

Merci pour votre aide !

Bonjour Marie,

La question est : "La suite est-elle convergente ?"
Comme tu as trouvé une limite, tu peux répondre à cette question. S'il le faut regarde la définition de convergente dans ton cours.
A priori ton exercice est fini.

Soit bien précise dans la rédaction du calcul de la limite.

Bonne continuation.

D'accord, merci beaucoup à vous pour votre aide !
Bonne soirée.