SOS-MATH

Bonsoir

On considère les suites (\(x_{n}\)) et (\(y_{n}\)) définies pour tout entier naturel n non nul par :

\(x_{n}=\int_{0}^{1}t^{n}costdt\) et \(y_{n}=\int_{0}^{1}t^{n}sintdt\)

1)a) Montrer que la suite (\(x_{n}\)) est à termes positifs.

b) Etudier les variations de la suite (\(x_{n}\))

c) Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (\(x_{n}\)) ?

Je bloque à la question 1)b).
J'ai calculé les 2 premiers termes. Je trouve \(x_{1}=sin1-cos1-1\) et \(x_{2}=sin1+2cos1+2sin1\).
Je suppose donc que la suite est croissante (\(x_{2}>x_{1}\)).

Il faut ainsi prouver que \(\int_{0}^{1}t^{n+1}costdt>\int_{0}^{1}t^{n}costdt\)
Ce qui équivaut à dire que \(\int_{0}^{1}cost*t^{n}(t^{n}-1)dt>0\)

Je veux ensuite étudier le signe de \(cost*t^{n}(t^{n}-1)\) qui doit être positif.
Mais est ce que \(t^{n}-1>0\) ?

Merci d'avance

Bonsoir Solène,

Je ne suis pas d'accord avec vos calculs de x1 et de x2, dans ton intégration par partie tu as du faire une erreur de signe, il y a deux signes moins, celui de la formule et celui de la dérivée de cos(t) qui est -sin(t).
De plus \(x_{n+1}-x_n\) donne \(\int_{0}^{1}t^n(t-1)cos(t)dt\) et quel est le signe de (t-1) pour 0 < t < 1 ?
Donc \((x_n)\) ne me semble pas croissante.
Pour la convergence il suffit d'appliquer un théorème liant le sens de variation et la minoration ou la majoration.

Bonne suite d'exercice

Bonsoir

\(\x_{1}=sin1+cos1-1\) et \(\x_{2}=2cos1-sin1\)

(t-1) est négatif quand 0<t<1 , on a cos(t) positif et \(t^{n}\) positif. Donc la suite est croissante.

Merci

Re bonsoir,

OK pour x1 et x2.

OK pour les signes, mais pas pour la conclusion, l'intégrale \(\int_{0}^{1}t^n(t-1)cos(t)dt\) sera négative comme \(x_{n+1}-x_n\) et dans ce cas quel est le sens de variation de la suite ?

bonne fin d'exercice

Re bonsoir

\(x_{n+1}-x_{n}<0\) <=> \(x_{n+1}<x{n}\) Donc la suite est décroissante

Merci encore

Oui Solène, ta conclusion est juste.

A bientôt sur SOS Math