Relations Racines et produits sur C

[Saad Ter C]

Bonsoir, j'ai un gros DS demain en analyses + Complexes et j'ai besoin de ranimer mes vieux réflexes sur C (qui datent quand même du premier semestre <_>;)
Pour ça , rien de mieux que de faire les DS des autres classes (heureusement qu'on est en retard par rapport au autres :D) Mais je bloque sur un exo qui traite des racines polynomiales et de leur relations.
Donc voila l'énoncé, assez courte :
Soit z appartenant a C et n tel que n >= 2 On pose \(S(z)=1+\)Z\(^2+z^4+...+z^{2n-2}\)

1) Résoudre l'équation \(Z^{2n}-1=0\)
2)Déduire les solutions de \(S(z)=0\)
3)Déduire que \(S(z)=\prod_{k=1}^{n-1}(z^2-2zcos(\frac{k\pi}{n})+1)\)
4)Déduire que \(\prod_{k=1}^{n-1}sin(\frac{k\pi}{2n})=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}\)
5)Calculer \(\prod_{k=1}^{n-1}cos(\frac{k\pi}{2n}) et \prod_{k=1}^{n-1}cos(\frac{k\pi}{n})\)
Faut avouer que je suis un peu rouillé pour faire ça un dimanche mais je me lance, même si je vais pas allez très loin tout seul xd

\(Z^{2n}-1<=>Z^{2n}=1^{2n} <=>Z=e^{i\frac{k\pi}{n}\) avec \(k\in{{0...n-1}}\)
oula ça commence mal
2), Première halte, je ne vois pas quel est le rapport entre 1) et S(z) = 0 :x

Et merci ;)

[sos-math(13)]

Bonsoir,

pour la question 1, il s'agit de racines de l'unité. Pas de souci, à part la rédaction.
Z est de module 1, et s'écrit donc sous la forme exponentielle \(e^{i\theta}\)
On écrira plutôt \((e^{i\theta})^{2n}=e^{2i\pi}\) c'est à dire \(2n\theta=2\pi\) (modulo \(2\pi\)).
Soit \(2n\theta=2k\pi\) et finalement \(\theta=\frac{k\pi}{n}\).
Dans l'intervalle \([0;2\pi[\), on garde les valeurs de \(k\) que tu donnes.

Pour la question 2, je pense qu'il y avait une erreur d'énoncé. Je me suis permis de corriger en rouge (me dire si je me trompe).
Dans ce cas, on reconnait la somme des termes d'une suite géométrique, et la formule permet de se ramener à la question précédente.

Bon courage.

[Saad ter C]

Bonsoir,

pour la question 1, il s'agit de racines de l'unité. Pas de souci, à part la rédaction.
Z est de module 1, et s'écrit donc sous la forme exponentielle \(e^{i\theta}\)
On écrira plutôt \((e^{i\theta})^{2n}=e^{2i\pi}\) c'est à dire \(2n\theta=2\pi\) (modulo \(2\pi\)).
Soit \(2n\theta=2k\pi\) et finalement \(\theta=\frac{k\pi}{n}\).
Dans l'intervalle \([0;2\pi[\), on garde les valeurs de \(k\) que tu donnes.

Pour la question 2, je pense qu'il y avait une erreur d'énoncé. Je me suis permis de corriger en rouge (me dire si je me trompe).
Dans ce cas, on reconnait la somme des termes d'une suite géométrique, et la formule permet de se ramener à la question précédente.

Bon courage.

C'est comme vous l'avez dit :
\(S(z)=1+z^2+z^{2^{2}}+..+z^2^{n-1}=\frac{1-z^2^n}{1-z^2}\)
\(S(z)=0\) nous ramène donc au résultat précédent.

pour la 3ème c'est un résultat que je connais (le produit des racines, l'équivalent du b/a sur une eq de 2ème dégrée) mais c'est pas ce qu'il devrait donner ...

[sos-math(13)]

Bonsoir,

pour la 3, quelles sont les racines de chacun des polynômes du second degré ?
Tu peux observer que ce sont les mêmes que celles de \(S(z)\).
Et comme le coefficient constant est le même, ces deux polynômes qui ont les mêmes racines étant proportionnels, ils sont égaux. D'où le résultat.


Bon courage.