SOS-MATH

Bonjour,

J'ai un exercice de base sur les primitives, il faut montrer que F(x)=ln(x+√(x²+1)) est une primitive sur R de la fonction f telle que f(x)=(1)/(√(x²+1)):
J'ai essayer de passé de F(x) à petit f(x) en dérivant ln(u(x)) ce qui équivaut à u'(x)/u(x) mais dans les calculs je ne reconnaît pas et n'arrivent pas à me sortir de l'impasse quand je trouve [1+(1/2√(x²+1)]/[x + √(x²+1)]?

Merci de votre aide.

Bonjour Nicolas,

Tu n'arrives pas au résultat car tu as commis une erreur dans le calcul de u'(x) !
ton erreur vient de la dérivée de √(x²+1) en effet la dérivée de √(v) est : \((\sqr{v})'=\frac{v'}{2\sqr{v}}\) et non \(\frac{1}{2\sqr{v}}\) .

A toi de corriger ton erreur.

SoSMath.

Donc j'obtient u(x)=x+√(x²+1) et u'(x)=1+(2x/√(x²+1))

on fait u'(x)/u(x)= [1+(2x/√(x²+1))]/[x+√(x²+1)]
= [(2√(x²+1)+2x)/2√(x²+1)]/[x+√(x²+1)]
=[(2√(x²+1)+2x)*(x-√(x²+1)]/[2√(x²+1)]
=[2x√(x²+1)+2(x²+1)-2x²-2x√(x²+1)]/[2√(x²+1)]
=[2]/[2√(x²+1)]
=[1]/[√(x²+1)] CQFD

Je trouve le bon résultat, cependant je suis pas sûr d'une régle de calcul que j'ai utilisé souligné en rouge dans le calcul. Merci.

Bonsoir Nicolas,

Je ne comprends pas ta règle de calcul ....
Dans ton calcul de u' tu as oublié un 2 .... u'(x)=1+(2x/2√(x²+1))
Tu peux alors simplifer ton quotient par 2 ....

Ensuite tu as un quotient de fraction, utilise la règle de calcul \(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}\).

SoSMath.

J'ai trouvé mon erreur alors, en simplifiant l'expression de u'(x) en divisant tout par 2, je trouve bien [√(x²+1)+x]/[√(x²+1)]/[x+√(x²+1)] on multiplie par 1/[x+√(x²+1)] l'expression et sa nous donne
[(x+√(x²+1))x1]/[(√(x²+1))*(x+√(x²+1))] et on obtient bien après simplification f(x)=1/√(x²+1).

Dur dur dans arriver à bout, mais content de voir le résultat juste, merci de me reconfirmer. Bonne continuation à l'équipe SOS maths...

Merci et bonne continuation à toi aussi,

SoSMath.