Primitive

[Nicolas]

Bonjour,

J'ai un exercice de base sur les primitives, il faut montrer que F(x)=ln(x+√(x²+1)) est une primitive sur R de la fonction f telle que f(x)=(1)/(√(x²+1)):
J'ai essayer de passé de F(x) à petit f(x) en dérivant ln(u(x)) ce qui équivaut à u'(x)/u(x) mais dans les calculs je ne reconnaît pas et n'arrivent pas à me sortir de l'impasse quand je trouve [1+(1/2√(x²+1)]/[x + √(x²+1)]?

Merci de votre aide.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Nicolas,

Tu n'arrives pas au résultat car tu as commis une erreur dans le calcul de u'(x) !
ton erreur vient de la dérivée de √(x²+1) en effet la dérivée de √(v) est : \((\sqr{v})'=\frac{v'}{2\sqr{v}}\) et non \(\frac{1}{2\sqr{v}}\) .

A toi de corriger ton erreur.

SoSMath.

[Nicolas]

Donc j'obtient u(x)=x+√(x²+1) et u'(x)=1+(2x/√(x²+1))

on fait u'(x)/u(x)= [1+(2x/√(x²+1))]/[x+√(x²+1)]
= [(2√(x²+1)+2x)/2√(x²+1)]/[x+√(x²+1)]
=[(2√(x²+1)+2x)*(x-√(x²+1)]/[2√(x²+1)]
=[2x√(x²+1)+2(x²+1)-2x²-2x√(x²+1)]/[2√(x²+1)]
=[2]/[2√(x²+1)]
=[1]/[√(x²+1)] CQFD

Je trouve le bon résultat, cependant je suis pas sûr d'une régle de calcul que j'ai utilisé souligné en rouge dans le calcul. Merci.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Nicolas,

Je ne comprends pas ta règle de calcul ....
Dans ton calcul de u' tu as oublié un 2 .... u'(x)=1+(2x/2√(x²+1))
Tu peux alors simplifer ton quotient par 2 ....

Ensuite tu as un quotient de fraction, utilise la règle de calcul \(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}\).

SoSMath.

[Nicolas]

J'ai trouvé mon erreur alors, en simplifiant l'expression de u'(x) en divisant tout par 2, je trouve bien [√(x²+1)+x]/[√(x²+1)]/[x+√(x²+1)] on multiplie par 1/[x+√(x²+1)] l'expression et sa nous donne
[(x+√(x²+1))x1]/[(√(x²+1))*(x+√(x²+1))] et on obtient bien après simplification f(x)=1/√(x²+1).

Dur dur dans arriver à bout, mais content de voir le résultat juste, merci de me reconfirmer. Bonne continuation à l'équipe SOS maths...

[SoS-Math(9)]

Merci et bonne continuation à toi aussi,

SoSMath.