Bonjours,
Voici l'exercice qui me posedes soucis,
Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x.
-Montrer par récurence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, ((k^n)/(n!)) inférieur ou égal à ((k^k)/(k!))
Ainsi, je ne c'est pas du tout comment est ce que je peut conduire mon résonnement et pouvoir répondre.
exercice
-
SoS-Math(4)
- Messages : 2724
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12
Re: exercice
Bonjour,
Il faut montrer que la propriété est vraie pour tout nombre n supérieur ou égal à k.
initialisation : vérifie que la propriété est vraie pour n=k
hérédité : suppose que : k^n/n! est plus petit ou égal à k^k/k! ( hypothèse de récurrence)
montre que k^(n+1)/(n+1)! est plus petit ou égal à k^k/k!
sosmaths
Il faut montrer que la propriété est vraie pour tout nombre n supérieur ou égal à k.
initialisation : vérifie que la propriété est vraie pour n=k
hérédité : suppose que : k^n/n! est plus petit ou égal à k^k/k! ( hypothèse de récurrence)
montre que k^(n+1)/(n+1)! est plus petit ou égal à k^k/k!
sosmaths
-
Claude
Re: exercice
Je ne comprend pas comment il aut faire.
Ici, il faut donc démontrer par récurence.
Cependant, je ne vaut pas comment faire pour traiter les piste que vous m'avez donner. Je pence que je ne comprend pas ien se que l'on me demande ainsi que de quelle manière je dois procéder avec la récurence.
Merci
Ici, il faut donc démontrer par récurence.
Cependant, je ne vaut pas comment faire pour traiter les piste que vous m'avez donner. Je pence que je ne comprend pas ien se que l'on me demande ainsi que de quelle manière je dois procéder avec la récurence.
Merci
-
Claude
Re: exercice
Je comprend qu'il faut utiliser la récurence pour résoudre la question cependant je n'y arrive pas. Je pence que j'ai un soucis dans la compréhension du texte et de se qui m'est demandé. j'aimerais si possible avoir d'avantage d'indication pour que je puisse bien m'orienter.
merci
merci
-
SoS-Math(8)
Re: exercice
Bonjour,
On peut d'abord vérifier que cela fonctionne sur quelques valeurs de k et n
Exemples:
Si k=1 et n=2 alors:
\(\frac{k^n}{n!}=\frac{1^2}{2!}=\frac{1}{2}=0.5\)
\(\frac{k^k}{k!}=\frac{1^1}{1!}=1\)
Donc:
\(\frac{k^n}{n!}\leq\frac{k^k}{k!}\).
Si k=1 et n=3 alors:
\(\frac{k^n}{n!}=\frac{1^3}{3!}=\frac{1}{6}\)
\(\frac{k^k}{k!}=\frac{1^1}{1!}=1\)
Donc:
\(\frac{k^n}{n!}\leq\frac{k^k}{k!}\).
Vous pouvez tester sur k=5 et n=8 si vous voulez.
Ensuite on suppose que :
\(\frac{k^n}{n!}\leq\frac{k^k}{k!}\).
A partir de là, il faut démontrer que \(\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}\leq\frac{k^k}{k!}\).
On peut d'abord vérifier que cela fonctionne sur quelques valeurs de k et n
Exemples:
Si k=1 et n=2 alors:
\(\frac{k^n}{n!}=\frac{1^2}{2!}=\frac{1}{2}=0.5\)
\(\frac{k^k}{k!}=\frac{1^1}{1!}=1\)
Donc:
\(\frac{k^n}{n!}\leq\frac{k^k}{k!}\).
Si k=1 et n=3 alors:
\(\frac{k^n}{n!}=\frac{1^3}{3!}=\frac{1}{6}\)
\(\frac{k^k}{k!}=\frac{1^1}{1!}=1\)
Donc:
\(\frac{k^n}{n!}\leq\frac{k^k}{k!}\).
Vous pouvez tester sur k=5 et n=8 si vous voulez.
Ensuite on suppose que :
\(\frac{k^n}{n!}\leq\frac{k^k}{k!}\).
A partir de là, il faut démontrer que \(\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}\leq\frac{k^k}{k!}\).
-
Claude
Re: exercice
D'accord. Je ous recontacte si je rencontre à nouveau des soucis.
-
SoS-Math(9)
- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: exercice
A bientôt,
SoSMath.
SoSMath.
-
Claude
Re: exercice
Je commence effectivement à comprendre le raisonnement.
Donc dans un premier temps om démontre que cela est vrai pour différente valeur:
donc par exemple pour k=5 et n=8
(k^n)/(n!) = (5^8)/8! = 390625/40320=9.68 (car 8!=8x7x6x5x4x3x2x1)
(k^k)/(k!)= (5^5)/(5!)=3123/120=26.04
Donc (k^n)/(n!) inf ou égal (k^k)/(k!).
Cependant, est ce que les valeurs prisent pour k et n que vous m'avez donné sont prises aux hasard ou elles sont choisit selon une certain façons?
Ensuite, on pose notre condition on suppose que : Pn "(k^n)/(n!) inf. ou égal (k^k)/(k!)"
résolution:(k^n+1)/((n+1)! inf ou égal (k^k)/ (k!)
Est ce que ici, pour résoudre cela, on doit reprendre les valeur prisent plus haut?
Si oui, cela nous donne:
(k^n+1)/(n+1)! =(5^9+1)/9! = 9765625/(9x8x7x6x5x4x3x2x1)=9765625/362880= 26.91
(k^k)/(k!)=26.04
onc Pn est vrai.
Ainsi, comme la condition initiale est vérifiée, que Pnest vrai alor la proposition est héréditaire.
Est ce que mon résonnement est bon?
Donc dans un premier temps om démontre que cela est vrai pour différente valeur:
donc par exemple pour k=5 et n=8
(k^n)/(n!) = (5^8)/8! = 390625/40320=9.68 (car 8!=8x7x6x5x4x3x2x1)
(k^k)/(k!)= (5^5)/(5!)=3123/120=26.04
Donc (k^n)/(n!) inf ou égal (k^k)/(k!).
Cependant, est ce que les valeurs prisent pour k et n que vous m'avez donné sont prises aux hasard ou elles sont choisit selon une certain façons?
Ensuite, on pose notre condition on suppose que : Pn "(k^n)/(n!) inf. ou égal (k^k)/(k!)"
résolution:(k^n+1)/((n+1)! inf ou égal (k^k)/ (k!)
Est ce que ici, pour résoudre cela, on doit reprendre les valeur prisent plus haut?
Si oui, cela nous donne:
(k^n+1)/(n+1)! =(5^9+1)/9! = 9765625/(9x8x7x6x5x4x3x2x1)=9765625/362880= 26.91
(k^k)/(k!)=26.04
onc Pn est vrai.
Ainsi, comme la condition initiale est vérifiée, que Pnest vrai alor la proposition est héréditaire.
Est ce que mon résonnement est bon?
-
SoS-Math(9)
- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: exercice
Bonsoir Claude,
Tu n'as pas bien compris le raisonnement par récurrence !
Rappel :
1) Il faut vérifier que la propriété est vraie au 1er rang (1ère valeur de n, dans ton exercice la 1ère valeur de n est k car on dit de n >= k).
2) On suppose que la propriété est vraie au rang n, et il faut démontrer qu'elle est vraie au rang suivant (rang n+1).
Je te laisse vérifier le 1er rang ....
On suppose alors que \(\frac{k^n}{n!}\leq\frac{k^k}{k!}\) (hypothèse de récurrence).
Reste à montrer que \(\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}\leq\frac{k^k}{k!}\) (rang n+1).
Pour cela démontrer que \(\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{k^n}{n!}*\frac{k}{n+1}\)
Ensuite démontre que \(\frac{k}{n+1}\leq\1\)
Il faut alors conclure en utilisant l'hypothèse de récurrence.
Bon courage,
SoSMath.
Tu n'as pas bien compris le raisonnement par récurrence !
Rappel :
1) Il faut vérifier que la propriété est vraie au 1er rang (1ère valeur de n, dans ton exercice la 1ère valeur de n est k car on dit de n >= k).
2) On suppose que la propriété est vraie au rang n, et il faut démontrer qu'elle est vraie au rang suivant (rang n+1).
Je te laisse vérifier le 1er rang ....
On suppose alors que \(\frac{k^n}{n!}\leq\frac{k^k}{k!}\) (hypothèse de récurrence).
Reste à montrer que \(\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}\leq\frac{k^k}{k!}\) (rang n+1).
Pour cela démontrer que \(\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{k^n}{n!}*\frac{k}{n+1}\)
Ensuite démontre que \(\frac{k}{n+1}\leq\1\)
Il faut alors conclure en utilisant l'hypothèse de récurrence.
Bon courage,
SoSMath.
-
Claude
Re: exercice
Cela nous fais donc au rang premier:
(k^n)/(n)! inf ou égal (k^k)/(k!) = (k^k)/(k!) inf ou égal (k^k)/(k!)
Donc P1 est vrai.
Cependant, à quoi sa nous à servis de calculer des valeur pour k et n tout à leur? car ici, on ne les utilisent pas.
Soit Pn"(k^n)/(n!) inf ou égal (k^k)/(k!)"
Nous faisons donc (k^n+1)/(n+1)! inf ou égal (k^n)/(n!) x (k)/(n+1)
Mais pourquoi à se nivau on ne peut pas remplacer par des valeurs. Car la je ne vois pas comment faire pour démontrer (k^n+1)/(n+1)! = (k^n)/(n!) x (k)/(n+1).
(k^n)/(n)! inf ou égal (k^k)/(k!) = (k^k)/(k!) inf ou égal (k^k)/(k!)
Donc P1 est vrai.
Cependant, à quoi sa nous à servis de calculer des valeur pour k et n tout à leur? car ici, on ne les utilisent pas.
Soit Pn"(k^n)/(n!) inf ou égal (k^k)/(k!)"
Nous faisons donc (k^n+1)/(n+1)! inf ou égal (k^n)/(n!) x (k)/(n+1)
Mais pourquoi à se nivau on ne peut pas remplacer par des valeurs. Car la je ne vois pas comment faire pour démontrer (k^n+1)/(n+1)! = (k^n)/(n!) x (k)/(n+1).
-
SoS-Math(9)
- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: exercice
Bonsoir Claude,
Prendre des valeurs permet des fois de comprendre le processus du calcul ...
Pour démontrer que (k^n+1)/(n+1)! = (k^n)/(n!) x (k)/(n+1) il faut utiliser les règles de calcul sur les puissances et sur les factoriels.
Rappel : \(a^{n+m}=a^n\times a^m\) et \((n+1)!=(n+1)\times n!\).
Bon courage,
SoSMath.
Prendre des valeurs permet des fois de comprendre le processus du calcul ...
Pour démontrer que (k^n+1)/(n+1)! = (k^n)/(n!) x (k)/(n+1) il faut utiliser les règles de calcul sur les puissances et sur les factoriels.
Rappel : \(a^{n+m}=a^n\times a^m\) et \((n+1)!=(n+1)\times n!\).
Bon courage,
SoSMath.
-
Claude
Re: exercice
à oui d'accord. CEla n'était pas évident mais j'ai enfin compris!
Donc si l'on résume tous cela'on dit que:
Nous savons que x est sup ou = à 0 et k est strictement sup à 0.
En utilisant les propriété de récurences, on à:
Soit P1 est vrai car pour n=k on à (k^k)/(n!) inf ou égal (k^k)/(k!)
Donc cela est vrai au premier rang.
Soit Pn notre hypothése de récurence, Pn"(k^n)/(n!) inf ou égal (k^k)/(k!)
Pour ce faire, on démontre que (k^n+1)/(n+1)! inf ou égal (k^k/k!).
Ainsi, soit (k^n+1)/(n+1)! = ((k^n)x^k)/((n+1)n!) = ((k^n)/(n!))x(k/n+1)
De plus k/n+1 inf ou égal 1
Donc (k^n+1)(n+1)! inf ou égal (k^k)/(k!)
Donc Pn est héréditaire
P1 est vrai est Pn est héréditaire, donc Pn est vrai.
Cependant, dans une autre questionon nous demande de démontrer également que: (x^n)/(n!) inf ou égal (x/k)^n x (k^k/k!).
Et ici, je ne sais pas de quelle maniére je dois m'y prendre.
Donc si l'on résume tous cela'on dit que:
Nous savons que x est sup ou = à 0 et k est strictement sup à 0.
En utilisant les propriété de récurences, on à:
Soit P1 est vrai car pour n=k on à (k^k)/(n!) inf ou égal (k^k)/(k!)
Donc cela est vrai au premier rang.
Soit Pn notre hypothése de récurence, Pn"(k^n)/(n!) inf ou égal (k^k)/(k!)
Pour ce faire, on démontre que (k^n+1)/(n+1)! inf ou égal (k^k/k!).
Ainsi, soit (k^n+1)/(n+1)! = ((k^n)x^k)/((n+1)n!) = ((k^n)/(n!))x(k/n+1)
De plus k/n+1 inf ou égal 1
Donc (k^n+1)(n+1)! inf ou égal (k^k)/(k!)
Donc Pn est héréditaire
P1 est vrai est Pn est héréditaire, donc Pn est vrai.
Cependant, dans une autre questionon nous demande de démontrer également que: (x^n)/(n!) inf ou égal (x/k)^n x (k^k/k!).
Et ici, je ne sais pas de quelle maniére je dois m'y prendre.
-
SoS-Math(2)
- Messages : 2177
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:03
Re: exercice
Bonjour Claude,
votre raisonnement est correct.
Pour la suite, il faut remarquer que
\(x^n=(\frac{x}{n})^n~\times~k^n\)
et utiliser le résultat précédent.
A bientôt
votre raisonnement est correct.
Pour la suite, il faut remarquer que
\(x^n=(\frac{x}{n})^n~\times~k^n\)
et utiliser le résultat précédent.
A bientôt