determination d'ensemble (complexe)

[inferno *TS]

Bonjour a tous et a toutes ,j’ai un exercice de type problème , et je suis bloqué j’aimerai qu’on m’aide merci d’avance !

(O;vecteur u ; vecteur v) est un repère orthonormal direct du plan P.
A et B ont respectivement pour affixe 1 et 4 d est la droite (OA) privée de A, Delta la perpendiculaire en A a d privée de A et T le cercle de centre A et de rayon 1.
F est l'application qui a tout point m d'affixe z différent de 1 associe le point M d'affixe:

Z=f(z)=(z²)/x-1

A. On note g et h les fonctions

g {R->
{x->(x²)/(x-1)

h {R->R
{x->(x²-1)/(x)

1. Etudiez les variations de g et h sur leurs ensemble de définitions E1 et E2.
2.Etudiez les limites de g et h aux bornes de E1 et Z2 respectivement.
3.Donnez les tableaux de variations de g et h

4.Déterminez les images de g(E1) et h(E2).

B.1 On suppose dans cette question que M A pour affixe 3.Ecrivez Sous forme algébrique , puis sous forme exponentielle, les affixes z de m telle que f(z)=3

2. On suppose dans cette question que :

z=1+e^iO (O appartient A R)

a) Calculez, en fonction de O, l'affixe Z de M.
b.) déduisez en l'ensemble des points M quand O varie.

3.On pose z=x+iy et Z=X+iY ou x , y , X et Y sont réels.


a) Calculez X et Y En fonction de x et y.
b) quel est l'ensemble des points M lorsque le point m décrit d?
c) QUel est l'ensemble des points M Lorsque le point m décrit delta?
d) Quel est l'ensemble des points m lorsque le points M décrit l'axe (O, vecteur U)?

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Petit rappel : ce site aide les élèves mais n'a pas pour objectif de faire le travail à leur place.

Je ne sais pas ou vous êtes bloqué, je pense donc que c'est au début.

Pour calculer les variations de g et h, je vous conseille de calculer les dérivées g' et h', puis de déterminer le signe de ces fct dérivées en fonction de x.
Attention : f et g sont des quotients, donc utilisez la bonne formule pour calculer les dérivées.

sosmaths

[inferno *TS]

voici mes reponses

1. Etudions les variations de g et de h sur leurs ensembles E1 et E2 :
POur ce faire calculons la dérivée de ces 2 fonctions :

f'(g)=(2x)(x-1)-(x²)(1)/(x-1)²=(2x²-2x-x²-1)/(x-1)²=(x²-2x-1)/(x-1)²

cherchons les solutions pour lequel les équations (1) x²-2x-1=0 et (2) (x-1)²=0 s'annulent

POur le (1) calculons a l'aide de delta:

delta= V8 =2V2 delta>0 admet 2 solutions

x1=(2+2V2)/(2)=1+V2

x2=(2-2V2)/(2)=1-V2

pour le (2)

x-1=0
x=-1

dressons alors le tableau de signe et de variation:

voir document "tableau de signe de g"

Variations de G sur E1:

La fonction g sur l'intervalle ]-oo;1-V2[ puis décroissante de [1-V2;1+V2] et croissante sur l'intervalle [1-V2;+oo[

---
De meme on fait le meme raisonnement pour la fonction h
f'(h)=(2x)(x)-(x²-1)(1)/(x²)=(2x²-x²-1)/(x²)=(x²-1)/(x²)

(1) x²-1=0 <=> x²=1 <=> x=V1 ou x=-V1
(2) x²=0

tableau de signe et de variation:

variation de h:
est décroissante sur l'intervalle ]-oo;-1[ , croissante sur [-1;0] décroissante sur ]0;1[

et croissante sur [1;+oo[.

2. Etudions les limites de g et de h aux bornes aux E1 et E2

(x²)/(x-1)=(x)/(1-(1/x))

lim x=+oo
x->+oo
lim(1-1/x)=1
x->+OO
alors lim (x²)/(x-1)=+oo
x->+oo

DE meme

lim (x²)/(x-1)=-oo
x->-oo

lim x²/x-1
x->1
x>1

. lim x²=1
x->1+

. lim x-1=0+
x->1+

lim x²/x-1=+oo
x->1
x->1+
lim (x²)/(x-1)=-oo
x->1
x<1

Etude des limites pour h aux bornes de E2

lim (x²-1)/(x)=x(1-(1/x²))=+oo
x->+oo

de meme

lim (x²-1)/(x)=-OO
x->-oo

lim (x²-1)/(x)
x->0
x>0

lim(x²-1)=-1
x->0

limx=0+
x>0+

lim x²-1/x=-oo
x->0
x>0


lim x²-1=-1
x<0

limx=0-
x->0-

alors lim (x²-1)/(x)==+oo


question 3 voir ci dessus

question 4)

les images de g(E1)=(1-V2)²/-1(1-V2)=(2V2+3)/(-1-V2)


les images de h(E2) sont

h=-1²-1/(-1)
=1-1/-1=0

et 1-1/1=0

h=0-1/0=-1 impossible



après je suis bloqué dans la suite j'aimerai de l'aide et j'aimerai qu'on me corrige pour la partie A merci d'avance

Abel :)

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

J'ai regardé vos calculs, hélas g'(x) et h'(x) sont faux donc tout ce qui en découle l'est aussi.
Deux petites remarques : pour supprimer les parenthèses précédées du signe moins il faut changer tous les signes et pour chercher le signe de la dérivée, il n'est pas nécessaire de chercher celui du dénominateur car c'est x² ou (x - 1)² qui sont positifs.

Autre chose, pour continuer l'exercice dans \(f(z)=\frac{z^2}{x-1}\) que représente x ?

Bon courage

[inferno]

Autre chose, pour continuer l'exercice dans f(z)=\frac{z^2}{x-1} que représente x ?

Bon courage

c'est a dire ?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

OK pour g mais pas pour h, \(\frac{{2x}\times{x}-(x^2-1)}{x^2}\) n'est pas égal à \(\frac{x^2-2x+1}{x^2}\), c'est plus simple et le tableau de variation aussi.
Ce que je te demande que représente x dans la formule, on parle d'un complexe z puis x apparait au dénominateur (formule donnée dans ton énoncé initial).

Bonne continuation

[inferno]

(x-1)² est toujours positif (1 est en dehors du damaine de définition de g)
x(x-2) est positif pour x<0 et pour x>2
Donc g(x) est croissant entre -∞ et 0, décroissant entre 0 et 2, puis croissant entre 2 et +∞.
De toute façon, sois logique, g(x) ne peut pas décroître à partir de -∞!

h(x),
h(x)=(x²-1)/x => h'(x)=2x/x-(x²-1)/x²=(2x²-x²+1)/x²=(x²+1)/x²
x²+1>0 quel que soit x
x²>0 quel que soit x≠0 (mais 0 est en dehors du domaine de définition de h).
donc h'(x)>0 quel que soit x.

[SoS-Math(11)]

Bonjour,

Tout à fait d'accord.
Ensuite remarque que toute valeur de \(R\) est atteinte par h qui croit de \(-\infty\) à \(+\infty\), mais que le maximum local de g en 0 est 0 et le minimum local de g en 2 est 4, les valeurs entre 0 et 4 peuvent-elles être atteintes par g ? Déduis-en g(E1) et h(E2).

Bonne continuation.

[inferno]

ensuite je suis bloqué sur la partie B

j'ai reussi a faire la partie A

mais arrivé partie B question b je bloque lorsque je dois remplacer


z par 1-e^iO

1+e^iO)²/(1+e^iO)-1=1+2e^iO+e^iO/(1+e^iO)-1
je pense a la facto
la j'ai pas distribuer le denominateur je fais comment j'utilise le euleur sur e^iO

[SoS-Math(4)]

bonsoir,

Vous pouvez simplifier 1 et -1 au dénominateur.
Ensuite vous obtenez : \(\frac{1+2e^{iO}+e^{2iO}}{e^{iO}}=e^{-iO}+e^{iO}+2=2cos(O)+2\)

Vous obtenez donc un nombre réel qui varie entre ...... et ......
Donc l'ensemble des points M est un segment dont je vous laisse déterminer les extrémités.

sosmaths