Modele proie-prédateur

[Pacman]

bonjour a tous voila mon probleme voisi l'énoncé de l'exercice:

Lorsque deux populations animales interagissent, il est fréquent que leurs taux d'accroissement respectifs soient imbriqués. C'est le cas notament avec les lynx (prédateurs) et les petits rongeurs (proies) sur un territoire clos du Canada.

A. Deux modélisations
1. Le modèle discret
On note Ln l'effectif des lynx après n mois rn celui des rongeurs ; on suppose alors que :
Ln+1 - Ln = Ln(0,04 + 0,000 05rn)
rn+1 - rn = rn( 0,05-0,00Ln)

a) En l'absence de prédateurs, comment évolue l'effectif des proies?
Dans ce cas exprimer rn en fonction de n et r0.
b) En l'absence de proies, comment évolue l'effectif des prédateurs?
Dans ce cas exprimer Ln en fonction de n et L0.
c) Montrer qu'il existe deux suites constantes non nulles (Ln) et (rn) solutions du système précédent.

Pour le a) je trouve rn=ro*1.05^n
pour le b) Ln=L0*0.96^n
Je bloque pour le c) pouvez vous me donner des pistes merci d'avance

[sos-math(19)]

Bonsoir Pacman,

Tu vérifieras ton énoncé, car il semble y avoir des erreurs dans les deux formules transmises.

Ln+1 - Ln = Ln(-0,04 + 0,000 05rn)
rn+1 - rn = rn( 0,05-0,00???Ln)

Tes réponses semblent correctes pour a et b.
Question c : \((L_n)\) constante, donc \(L_{n+1}=L_n\) et \((r_n)\) constante, donc \(r_{n+1}=r_n\).

Bon courage.

[Pacman]

Merci beaucoup mais je comprend pas ce qui faut trouver en faite.. Pouvez vous m'expliquer svp merci d'avance

[sos-math(19)]

Bonsoir Pacman,

Il faut commencer par corriger ton énoncé.

Tu peux remarquer que, dans l'hypothèse de suites constantes,
les premiers membres s'annulent.
Il reste alors à résoudre un système de deux équations d'inconnues \(L_n\) et \(r_n\).

La solution du système correspond à la valeur constante des suites respectives.

Bonne continuation.

[pacman]

Oui excusez moi. Alors la correction de l'énoncé: rn+1-rn=rn(0.05-0.002Ln)
Ensuite merci de ton aide.
Alors je trouve donc
Ln(-0.04+0.00005rn)=0
rn(0.05-0.002Ln)=0
Donc Ln 0.00005 rn = 0.04 Ln
Ln 0.002 rn =0.05 rn
d'ou rn=0.04/0.00005
Ln=0.05/0.002
Mais on compare ces valeurs a quoi..
excuse moi mais je ne comprend pas.
Merci d'avance

[pacman]

C'est bon j'ai réussi a finir tout seul, je te remerci beaucoup de ton aide. Bonne continuation, a plus tard peut etre =)

[sos-math(19)]

Bonsoir Pacman,

N'oublie pas que tu t'adresses à des enseignants.
Merci de respecter les règles de politesse en adoptant le vouvoiement.

Ta résolution est maladroite :
pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul.
On veut \(L_n\not=0\) et \(r_n\not=0\), donc tu vois les seules possibilités.
Tu dois par ailleurs aller jusqu'au bout de chaque calcul.


Dans cet espace clos, si au départ il y a ?? lynx et ??? rongeurs, alors ces populations sont stables.

Tu devrais maintenant arriver à terminer tout seul.