Suites

[Solène]

Bonjour

On considère les suites (\(u_{n}\)) et (\(v_{n}\)) définies pour \(n\geq1\) par :

\(u_{n}\) = \(\Sig{\frac{3}{2n-k}\) de k=0 à n-1

\(v_{n}\) = \(\Sig{\frac{3}{2n-k}\) de k=1 à n

1) Démontrer que les suites (\(u_{n}\)) et (\(v_{n}\)) sont adjacentes. On nomme \(\lambda\) leur limite commune.

2) Vérifier que :
pour \(n\geq1\) et \(0\leq\)\(k\leq\\)n, \(\frac{3}{2n-k} = \frac{1}{n}*f(3+\frac{k}{n})\)
où f est la fonction définie sur R\{5} par : \(f(x)=\frac{3}{5-x}\)

En deduire une expression de \(\lambda\) utilisant une intégrale puis déterminer la valeur exacte de \(\lambda\).

Je bloque à la question 2).

Je trouve \(\lim_{n\to+\infty}\)\(\int_{0}^{n}\frac{1}{n}*f(3+\frac{k}{n})dk=\frac{1}{n}[-ln(5-k)]_{0}^{n}=\frac{1}{n}(-ln(5-n)+ln5)=\frac{1}{n}(ln\frac{5}{5-n})\)


\(\lim_{n\to+\infty}=\frac{1}{n}(ln\frac{5}{5-n})\)=\(\lambda\)

Je n'arrive pas à calculer cette limite.

Merci d'avance.

[SoS-Math(8)]

Bonjour Solène,

Je pense que tu devrais utiliser la relation:
\(\frac{3}{2n-k} = \frac{1}{n}*f(3+\frac{k}{n})\), à l'intérieure de ton intégrale...

Tiens nous au courant de tes calculs.

[Solène]

Bonsoir

\(\int_{0}^{n}\frac{3}{2n-k}dk=\int_{0}^{n}\frac{1}{n}*f(3+\frac{k}{n})dk\)

<=> \([-3ln(2n-k)]_{0}^{n}=[-\frac{1}{n}ln(5-k)]_{0}^{n}\)

<=> \((-3ln(2n-n)-(-3ln(2n-0))=\)(\(-\frac{1}{n}ln(5-n))-(-\frac{1}{n}ln(5-0))\)

<=> \(-3ln(n)+3ln(2n)=-\frac{1}{n}ln(5-n)+\frac{1}{n}ln5\)

<=> \(-2ln(n)+3ln2=\frac{1}{n}(ln\frac{5}{5-n})\)

Je ne vois pas comment poursuivre.

[SoS-Math(8)]

Bonsoir,

Ce que je voulais dire
\(\int_{0}^{n}\frac{1}{n}*f(3+\frac{k}{n})dk=\int_{0}^{n}\frac{3}{2n-k}dk=[-3ln(2n-k)]_{0}^{n}\).

A vous de poursuivre.

[Solène]

Bonsoir

\(\int_{0}^{n}\frac{1}{n}*f(3+\frac{k}{n})dk\int_{0}^{n}\frac{3}{2n-k}dk = [-3ln(2n-k)]_{0}^{n}\)
\(=(-3ln(2n-n)-(-3ln(2n-0)) =-3ln(n)+3ln(2n) = 3ln2-2ln(n) = \lambda\)

Est-ce correct ?

[SoS-Math(8)]

Hélas, il y a une erreur:
\(-3ln(n)+3ln(2n)=3ln2\)

[Solène]

Rebonsoir

\(-3ln(n)+3ln(2n) = -3ln(n)+3(ln2+ln(n)) = -3ln(n)+3ln2+3ln(n) = 3ln2\)

J'avais oublié les parenthèses.

Merci beaucoup !

[SoS-Math(2)]

C'est bien Solène, vous avez réussi.
A bientôt