SOS-MATH

Bonjour ,

Je bloque sur une question d'un des exercices de mon dm, dont voici l'énoncé:

Soit f définie sur R par : f(x) = cos(2x)-2cox

1) démontrer que f est périodique de période 2π (pi) puis que f(-x)=f(x) pour tout x de R

j'ai donc fait: f(x+2π)= cos(2x+2π)-2cos(x+2π)
= cos(2x)-2cos(x)
= f(x)

pour tout x de R f(-x) = cos(-2x)-2cos(-x)
= -2cos(x)-2cos(-x)
= - 2(-cosx) -2cos (x)
= cos(2x)-2cos x = f(x)

2) Démontrer que que f'(x) = 2sin x (1-2cos x)

je fais donc : f'(x) = cos'(2x)*2 - 2cos'(x)
= -2sin(2x)+2sin(x)

et donc je n'arrive pas à retrouver ce qui est demander . Si vous pouviez me donner une piste :) et me dire si ds la 1er qestion c'est bien comme cela qu'il faut faire ; je vous remercie d'avance !

Bonjour ... (vous avez un prénom ?)
Votre démonstration de la périodicité est correcte quoique vous avez oublié une paire de parenthèse :
\(f(x+2\pi)= \cos(2(x+2\pi))-2\cos(x+2\pi)\)
Mais cela ne change pas le résultat.
En revanche, à la question suivante vous faites une faute épouvantable ...;-)
En effet, pour démontrer que \(f(-x)=f(x)\) pour tout \(x\) de \(R\) (on dit qu'alors \(f\)est une fonction paire), vous écrivez que \(cos(-2x) = -2cos(x)\) et j'imagine que vous pensez qu'on peux "sortir" n'importe quel nombre \(k\) d'un cosinus ! Mais c'est faux, en effet \(\cos(k\times x)\neq\ k\times\cos(x)\)
Donc il faut refaire cette question.
Bon courage.

Bonsoir,

En effet , je ne me souvenais plus que nous n'avions pas le droit de sortir comme vous dites le k , sa me donne donc

f(-x) = cos(-2x)-2cos(-x)
= cos (2x) -2cos(x)
=f(x)

C'est bien comme ça qu'il faut faire?
Auriez vous une piste pour la dérivée de f?
Merci beaucoup

Estelle

Bonsoir Estelle

Tu as raison, c'est comme ça qu'il faut faire ; on sait que la fonction \(\cos\)est paire donc pour tout \(x\) on peut écrire \(\cos(-x)=\cos(x)\) donc aussi bien \(\cos(-2x)=\cos(2x)\). Donc la question est faite, il ne reste qu'à la rédiger.

Et puis surtout n'oubliez plus qu'on ne peux pas "sortir" \(k\) de \(\cos(k\times x)\) ni de \(\sin(k\times x)\) ni de \(\tan(k\times x)\).

Je pense que les seules fonctions \(f\) que vous connaissez qui vérifient la propriété \(f(k\times x)=k\times f(x)\) sont les fonctions linéaires \(f(x)=ax\)
Pour la dernière question il faut "voir" \(\cos(2x)\) comme la composée de deux fonctions u et v :
\(\cos(2x)=u(v(x))\)
et on sait (c'est dans le cours) dériver la composée \(uov\)
Bon courage.

Bonjour,

J'avais vu qu'il y avait une fonction composé mais le probleme c'est que je n'arive pas à retrouver le bon résultat. Voici mon calcul:

( u o v )'(x)= u' [ (vx) ] * v'(x)
= -sin (2x) * 2

donc f'(x) = -2sin (2x) + 2 sin x

Mais il faut trouver f'(x)= 2sinx(1-2cosx)
Donc je ne comprend pas pourquoi car en effet je pense que mon calcul est bon
Je vous remercie pour vos conseils :)

Bonjour Estelle

Ta dérivée est juste !
\(f'(x) = -2\sin (2x) + 2 \sin x\)
Et il est facile de passer de ton résultat à celui qui est demandé ; en effet, on peut utiliser la formule bien connue :
\(\sin(2x)=2 \sin(x)\cos(x)\)
Bonne fin de devoir !
Et à une prochaine fois sur SoS-Math !

PS : un conseil, apprendre le plus possible de formules de trigonométrie.
Si on les connait, on pense à s'en servir !