SOS-MATH

Pourriez-vous m'aider à trouver une solution en géométrie :
dans l'espace rapporté à un repère orthonormé d'origine O, on construit le tétraèdre OABC avec A(2,0,0)
B(0,2,0) et C(0,0,2). Pour tout point M du segment [AB], on construit le projeté orthogonal H du point O sur la droite (MC).
Déterminer le lieu du point H.
Ma conjecture est la suivante : H est situé sur le cercle de centre I le milieu de [CG] où G est l'isobarycentre de ABC.
Je suis également, par manipulation de produits scalaires, arrivé à établir l'égalité CH = 4/CM mais je n'arrive pas à prouver cette conjecture.
Merci de m'aider.
Cédric

Bonjour Cédric,
ce problème est une des épreuves pratiques données en TS en 2008
Comment avez-vous trouvé votre conjecture?
Une piste pour la démontrer, avez-vous remarqué que le triangle COH est rectangle en H donc H est sur une sphère dont vous pouvez trouver facilement le centre et l'équation
Vous savez aussi que H appartient au plan ABC

De quoi démarrer.
A bientôt

Bonsoir,
Avec votre aide, j'ai trouvé que H appartient donc à la sphère de centre K le milieu de [OC] et de rayon 1 dont une équation est x^2 + y^2 + (z-1)^2 = .
Par ailleurs une équation de (ABC) est x + y + z = 2.
Mais comment continuer ....
Merci de m'aider à nouveau.
Cédric
PS : vous avez raison : il s'agit d'un sujet d'"épreuve pratique de mathématiques" (sujet 062 d'après l'indication de la fiche élève distribuée par le professeur).

Bonsoir Cédric
L'intersection d'un plan et d'une sphère est un cercle dont le centre est le projeté orthogonal du centre de la sphère sur le plan.
Voilà de quoi réfléchir.
A bientôt

Bonjour,
K(0,0,1). Le projeté orthogonal K' de K sur (ABC) est tel que vect(KK') est colinéaire à (1,1,1) qui est un vecteur orthogonal à (ABC). Donc il existe un réel k tel que x'=k ; y'=k et z'-1=k où (x',y',z') sont les coordonnées de K'.
De plus K' apprtient à (ABC) donc x'+y'+z' = 2 d'où 3K=1 et k = 1/3.
Il en résulte que K'(1/3,1/3,4/3) et j'ai vérifié que K' coïncide bien avec le point I.
Merci.
Cédric

Bravo Cédric !
A bientôt sur SoS-Math