SOS-MATH

Soit la fonction définie sur [0;+00] par :f(x)=ln(1+xe^-x). On note f' la fonction dérivée de la fonction f dans un repére orthogonal. On note C la courbe représentative de f dans un repére orthogonal.


Bonjour à tous, pouvais vous me dire si mon intégration par partis est juste:
pour plus de commodité, on ecrira H pour lombda. Du fait de l'absence de ce caractére sur lordi.
Donc nous avons: A(H)= somme de 0 à H f(x) dx avec f(x)=xe^-x.
On pose U'(x)=e^-x qui à pour primitive U(x)= -e^-x
V(x)=x a pour dérivée V(x)=1
Donc: A=[-xe^-x] de 0 à H + somme de O à H de e^-x
=-He^-H - [e^-x] de 0 à H
=- He^-H - e^-H
=-H x -H/e + H/e
= H²/e + H/e
= H²+H/e
Je ne suis donc pas tout à faire sur de mon calcule.
de plus par la suite on nous demande cela: On admet que, pour tout nommbre réel positif U, ln(1+U) inférieur ou égal à U. démontrer alors que, pour tout nombre réel H strictement positif, A(H) inférieur ou égal à -He^-H -e^-H +1. les espace permettent de différencier les terme.
Ainsi, je ne c'est pas comment traiter cette derniére question.

Bonsoir,
cette partie du calcul est juste

A=[-xe^-x] de 0 à H + somme de O à H de e^-x
=-He^-H - [e^-x] de 0 à H

La suite est fausse

=- He^-H - e^-H il manque ici + 1
=-H x -H/e + H/e c'est faux car e^(-H) = 1/e^H

\(2$A(H)=-He^{-H}-e^{-H} + 1\)

Je ne comprends pas la question suivante: le A(H) ne doit pas être le même que celui de la question précédente!
Revoyez le texte
A bientôt

nn se n'est effectivement pas le même. Le A(H) en question correspond a f(x)=ln(1+xe^-x). C'est la fonction du début quui est donné dans l'intro.
ainsi il faut démontrer que A(H) inf. ou égal à -He^-H -e^-H +1.
De plus il nous demande ensuite de trouver un majorant de A(5), arrondi au centiéme. Il nous demande par méthode peut on trouver un majorant dans le cas ou H=5.
Or je ne sais pas du tout comment misprendre

Paul, si vous posez U(x) =xe^-x vous avez ln(1+U(x)) <= U(x)
donc si vous passez aux intégrales ......
A vous

Je ne comprend pas quelle est votre démarche.

De plus quelle est la primitive de 1+xe^-x?
Merci

donc j'en arrive à là: f(x)=ln(1+xe^-x)
soit U'= 1+xe^-x à pour primitive U= x-e^-x (x+1)
V= ln x V'= 1/x

Doc il vient que [ln(x-e^-x(x+1))] de o à lombda - somme de o à lombda 1/x(xe^-x(x+1))
Est ce que jusque là c'est bon?

Bonjour,
reprenons:
Si vous posez \(2$U(x)=xe^{-x}\) vous avez \(2$ln(1+U(x)) \leq U(x)\)car pour tout x positif, xe^(-x)>0
\(ln(1+xe^{-x})\leq xe^{-x}\)
D'après les propriétés des intégrales
\(\int_{0}^{H}ln(1+xe^{-x})dx\leq \int_{0}^{H}xe^{-x}dx\)

A vous de continuer

A oui d'accord.
Donc nous connaissons l'intégral de xe^-x. Il nous faut donc celle de ln(1+e^-x)
on pose U'=1+e^-x qui a pour primitive u=x-e^-x(x+1
V=ln x qui a pour dérivée 1/x
insi,nous avons: [ln(x-e^-x(x+1))] de O à H - somme de O à H de 1/x(x-e^-x(x+1)).

[ln(H-e^-H(H+1) - ln(O-e^o(o+1)] - [ 1+xe^-x] de O a H
ln(H-He^-H) - ln(-e^1) - 1+He^-H - 1
lnH -ln He^-H +ln e^1 -2 + He^-H.
Déja jusque la je pence que j'ai du fair des erreurs de calcule.

Paul, relisez votre texte.
On ne vous demande pas de calculer l'intégrale, on vous demande de montrer qu'elle est inférieure ou égale à quelque chose!
J'ai oublié un x dans mon dernier message.
Je l'ai corrigé donc reprenez le.
Dans la dernière inégalité trouvée, l'intégrale à gauche est A(H) et regardez l'expression à droite.
A bientôt

Mais comment le démonter alors si se n'est par le calcule?

Paul, dans mon avant dernier message je vous ai dit que :
\(\int_{0}^{H}ln(1+xe^{-x})dx\leq \int_{0}^{H}xe^{-x}dx\)
A gauche A(H)
à droite , remplacez par la valeur trouvée dans les questions précédentes
et relisez la question que vous cherchez...

Oui je suis d'accord et cela je l'avais compris mais ccepandant en quoi cela le démontre.C'est cela que je ne comprend pas. S'il n'y a pas de calcule à faire je ne comprend pas comment vous voulez que je fasse.

Paul,
cette inégalité est bien la fin d'un raisonnement et vous arrivez à l'inégalité demandée dans le texte. Que voulez-vous faire de plus?

Il me sembler qu'il aurait fallu trouver l'intégral de A(H). puis comparer les deux.
De plus, si l'on veut majorer A(H) avec H=5, par quelle méthode aurais t on pu y arriver?