SOS-MATH

Bonjour à tous,
J'ai donc trouver quelques difficulté dans ma progression de mon exercice; j'attend donc des piste et des méthode pour y parvenir.
Voici le sujet:*soit la fonction définie sur [0;+00] par :f(x)=ln(1+xe^-x). On note f' la fonction dérivée de la fonction f dans un repére orthogonal. On note C la courbe représentative de f dans un repére orthogonal.
a)Justifier que: lim x tend vers +00 f(x)=0
Donc ici je calcule la limite à l'aide des fonction composées:
soit U=1+e^-x et u'=e^-x
donc on fait: U'(x)/U(x) soit (ln(1+xe^-x))/e^-x Cependant je ne c'est pas de quelle maniére achever le calcule.

b)Justifier que, pour tout nombre réel positif x, le signe de f'(x) est celui de 1-x.
Ici, je ne c'est pas de quelle manière puis je traiter cette question.

merci d'avance.

Bonjour,
Je ne comprends pas ce que vous faîtes.
Trouver la limite d'une part et trouver la fonction dérivée d'autre part sont deux choses différentes.
Pour la limite, on commencera à chercher \(\lim_{x\rightarrow~+\infty}{1+\frac{x}{e^x}}\)
Pour la fonction dérivée, il faut poser en effet \(u(x)=1+xe^{-x}\).
On cherchera \(u'(x)\) et on aura \(f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}\).
A bientôt.

Mais je ne comprend pas de quelle maniére arriver vous à lim x tend vers +00 de 1+ x/e^x
En effet, je devrais calculer la limite de lnU soit d'abord 1+xe^-x en +00 . soit lim x tend vers +00 U= +00 puis lim x tend vers +00 de ln x = +00.
Mais cela ne correspond pas au résultat demandé.

Je ne comprend pas de quelle maiére arrive vous à ce résutat. En effet, je devrais appliquer la limite d'une fonction composée. soit lim x tend vers +00 de 1+xe^-x, ce qui fait +00. Puis, lim de x vers +00 de ln x= +00.
cependan je ne trouve pas le résultat annoncée.

Bonjour Benoît,
On cherche \(\lim_{x\rightarrow~+\infty}{\ln{(1+xe^{-x})}}\).
Donc on commence par trouver \(\lim_{x\rightarrow~+\infty}{xe^{-x}}\).
On en déduit \(\lim_{x\rightarrow~+\infty}{1+xe^{-x}}\).
Et enfin, on en déduit \(\lim_{x\rightarrow~+\infty}{\ln{(1+xe^{-x})}}\).
A bientôt.

D'accord.
Donc pourlim x tend vers +00 xe^-x=0 vu que lim x tend vers +00 e^-x=0.
Donc dans la parenthése on a une limite qui tend vers 1. Cependant, lim x tend vers +00 de ln(1+xe^-x) celacfait +00.
ET cel n'es pas corect.

Bonjour Benoît,
Comment ça, ce n'est pas correct.
\(\lim_{x\rightarrow~+\infty}{(1+xe^{-x})}=1^+\) et \(\lim_{X\rightarrow~1^+}{\ln(X)}=0^+\).
A bientôt.

re re re bonjour,
je vous remercie. Je n' avais pas bien fais les régle sur les limite. et de sorte à se que je finisse mon exercise; pourviez vious me donner la méthode pour faire la question b)
je vous remercie d'avance.

Bonjour,
commencez par calculer la dérivée de f puis simplifiez la
Bon courage

A ok. Ainsi cela nous donne: F(x)=lnU
U=1+xe^-x et U'=-e^-x
F'(x)= U'(x)/U(x)
= -((e^-x)/(1+xe^-x))
= - (1/1+x)


En suite nous pouvons en déduire que, comme le signe de f'(x) est clui de 1-x alor f(x) est décroissante lorsque x inf à -1
est croissante lorsque x sup à -1
J'aimerais savoir si mon résonnement est corecte.

Bonjour Benoît,
Vous avez une erreur dans la dérivée de u.
\(u(x)=1+xe^{-x}\)
\(u'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)\).
A bientôt.

Mais alor, cela nous fait;
U'(x)/U(x)= (e^-x(1-x))/(1+xe^-x)
=(1-x)/(1+x)

Cependant la démonstration que j'ai donné pour les variation de f(x) sont toujours juste?

Bonjour Benoît,
Non, toujours pas... Vous n'êtes pas très vigilant dans vos calculs.
On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(e^x\).
Cela donne \(\frac{e^{-x}(1-x)}{1+xe^{-x}}=\frac{e^xe^{-x}(1-x)}{e^x(1+xe^{-x})}\).
On sait que \(e^xe^{-x}=1\). Au dénominateur, il faudra distribuer.
A vous de finir: je suis en train de tout vous faire!
A bientôt.