SOS-MATH

Bonsoir, j'ai un exercice a faire pour jeudi cela fait 3 jours que je suis dessus et je n'arrive pas a trouver les solutions, voici l'exercice :

Le plan est rapporté au repère orthonormal (O;u;v). A tout point M d'affixe z du plan, on associe le point M' d'affixe z' par l'application f qui admet pour écriture complexe :

z'= ((3+4i)z+5zbare)/6


1)Montrer que l'ensemble des points M invariants par f est la droite (D) d'équation y=(1/2)x


2)Soit M un point quelconque du plan et M' son image par f . Monter que M' appartient à la droite (D)

Pouvez-vous m'expliquer s'il vous plait. Merci

Bonjour Céline,
Pour répondre à la première question, on cherche les points d'affixe z=a+ib tels que f(z)=z.
f(z)=z équivaut à: \(z=\frac{(3+4i)z+\overline{z}}{6}\).
Ce qui équivaut aussi à \(6z=(3+4i)z+\overline{z}\).
On réduira au maximum et on remplacera z par a+ib et ensuite on pourra identifier les parties réelles et imaginaires.
A bientôt.