SOS-MATH

Bonsoir, j'ai besoin de votre aide pour résoudre un devoir de spé mathétiques de terminale S. J'ai résolu toute la 3ème question mais la 2. me donne du fil à retordre. En effet, je crois que nous avons étudié en cours une grande partie arithmétique du programme et nous venons de découvrir les similitudes mais sans faire d'exercices. Et du coup, je ne comprend pas grand chose... (pour la question 2b notamment).
J'ai fait le dessin et determiné le centre Ω intersection des 2 médiatrices à [AN] et [BP]. L'angle r' a alors fortement l'air d'être un angle droit mais je n'arrive pas à le prouver (pourtant on dirait un problème de géomètrie de collège).
Pour la 2b on a r'(A)=N et r'(B)=P mais je ne vois pas comment démontrer que r'(D)=M et r'(C)=A (même en considérant que l'angle de rotation vaut π/2).
Pour la 3c je ne comprend déjà pas vraiment la notion de r exposant "-1" alors avec la composée, encore moins.
Merci d'avance pour le temps que vous accorderez à ma demande. Bonne soirée.


France Métropolitaine - septembre 2002
On considère un rectangle direct ABCD vérifiant : AB = 10 cm et AD = 5 cm.
1. Faire une figure : construire ABCD, puis les images respectives M, N et P de B, C et D par la rotation r de centre A et d'angle -π/2. (j'ai trouvé une image du dessin donné avec le sujet: http://www.arithmetique.net/Les_problem ... a_2006.htm 7ème sujet)
2. (a) Construire le centre Ω de la rotation r' qui vérifie r'(A) = N et r' (B) = P. Déterminer l'angle de r' .
(b) Montrer que l'image de ABCD par r' est AMNP.
(c) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation r -1o r' .

Bonjour,
Pour réussir cet exercice vous devez appliquer les propriétés de la rotation: conservation des angles, l'image d'une droite est une droite etc ...
si r'(A)=N et r'(B)=P alors quelle est l'image de la droite (AB)?
Et où retrouve-t-on l'angle de la rotation? Vous avez du le voir en cours.

Pour démontrer que l'image de ABCD est AMNP, il faut commencer par prouver que AMNP est un rectangle en utilisant la première rotation.
Puis pour continuer, utiliser les propriétés: les images de deux droites parallèles sont parallèles et les images de deux droites perpendiculaires sont perpendiculaires.
Bon courage

Bonjour, et avant tout merci ! Mais je crains que je vais encore devoir vous déranger un petit peu.

Alors pour la 2a voici ce que j'ai l'intention d'écrire sur ma copie (est-ce juste ?):
On sait que r(B)=M, r(C)=N, r(D)=P et r(A)=A, A étant le centre de la rotation et donc un point invariant. Ainsi le quadrilatère AMNP est l'image du rectangle ABCD par la rotation r d'angke -pi/2. Comme la rotation est une isomètrie qui conserve les distances, les angles et le parallèlisme, alors AMNP est un rectangle de largeur 5cm et de longueur 10cm.
Ainsi, comme (AD;AP)=-pi/2 et que DAB=90°, alors P appartient au segment [AB]. Donc [AB] et perpendiculaire à [NP] en P.
Or r'(A)=N et r'(B)=P donc l'image de (AB) par r' est (NP) et les deux droites se coupent en formant un angle géomètrique qui correspond à l'angle de la rotation.
Ici l'angle de r' vaut donc pi/2.

Pour la 2b, j'ai une idée mais elle me parait discutable...
Si je dis que (AC) est perpendiculaire à (AN) donc l'image de (AC) par r' est (AN) et comme r'(A)=N, alors puis-je affirmer que r'(C)=A ?
De même, j'arrive à r'(D)=M en donnant (DM) perpendiculaire à (BP) donc r'(BP)=(DM) et r'(B)=P.
Je ne vois vraiment pas d'autre solution, s'il vous plait aidez moi encore un peu, parce que même pour la 2c. je ne comprend pas. Merci

Bonsoir,
Le départ est bon mais vous devriez plutôt parler d'angles de vecteurs pour pouvoir parler d'angle orienté pour la rotation.

(AC) est perpendiculaire à (AN) donc l'image de (AC) par r' est (AN)

c'est effectivement discutable car A n'est pas le centre de la rotation r'.
Il y a plusieurs démonstrations possibles. Voici des indications pour l'une d'entre elles.
Vous pouvez par exemple démontrer que Ω est le milieu de [NC] puis que l'angle des vecteurs CA et CE vaut pi/2
Pour cela, vous pouvez montrer d'abord que P est sur AB et qu'il est le milieu de AB. ensuite tracer la droite PN qui va couper DC en K et penser théorème de Thalès
Vous pourrez ainsi en déduire qu'elle est l'image de C

Bon courage

Excusez-moi mais là, je suis un peu perdu: je n'ai pas de point E mais je comprend que si j'arrive à démontrer que oméga est le milieu de [CN] alors CAN étant un triangle isocèle (cf. r) (omégaC;omégaA)=pi/2. Mais je ne vois pas du tout comment montrer que oméga est le milieu de [CN]. Trouver le milieu K de [DC] permet de déterminer le milieu de [AC].
Dois-je utiliser la réciproque du théorème de Thalès comme on a le milieu de [AC] et celui de [AN] et que AC=AN ???
Enfin, pour B et P je ne vois toujours pas de démonstration :'(
Merci quand-même de m'accorder autant de votre précieux temps.

Oups, je ne voulait pas faire référence à B et P mais bien à D et M... Je n'ai vraiment aucune idée.

Il suffit de trouver l'image d'un autre point après vous savez que l'image d'un rectangle est un rectangle et vous en aurez déja trois points donc le quatrième sera évident.
Voyons une autre méthode
(AB) a pour image (NP)
(BC) est perpendiculaire à (AB) donc l'image de (BC) est perpendiculaire à l'image de (AB) et passe par l'image de B c'est à dire P donc c'est la droite ......
Si on appelle C' l'image de C, que vaut BC donc que vaut PC' ?
Alors quel est le point C'?
Bonne recherche.

Ok, merci beaucoup ! Je trouve C' sur la droite (AB) et situé à 5cm de P c'est donc le point A (faut-il une justification pour réfuter le point B en tant qu'image? est-ce nécessairement le point A?).
Pour la suite je dis donc que l'image d'un rectangle par une rotation est un rectangle de mêmes distances, d'accord.
Maintenant, il ne me reste plus que l'ultime question, la 2c avec son problème de r^-1 o r' (je ne comprend même pas l'écriture)

Vous pouvez parler de la mesure des angles orientés si vous voulez pour justifier votre choix entre A et B
Que veut dire r^-1
C'est la rotation réciproque de r, c'est çà dire la rotation de centre A d'angle pi/2 : donc M a pour image B, N a pour image C etc ...
r^-1 °r' veut dire que l'on applique d'abord r' puis r^-1
Appelons R cette transformation
Vous avez du voir en cours que la composée de deux rotations est une rotation
Voir : http://fr.wikipedia.org/wiki/Rotation_plane
R(A)= r^-1(r'(A))= r^-1(N)=C
de même trouver R(B)
Avec ces points vous pourrez en déduire le centre
A vos crayons.

Youpiiiiiiii ! Je trouve R la rotation de centre O le centre du rectangle ABCD (intersection de ses 2 diagonales) et d'angle pi. Et en plus j'ai bien compris la notion de composée r-1 o r'.
Merci merci et encore merci pour votre aide, sans vous j'aurais dû rentre copie blanche pour toute la question 2. Je trouve votre travail admirable et votre générosité remarquable. Merci d'aider bénévolement les élèves qui en ont besoin.
Sur ce, bonne soirée et bonne continuation. :)

Merci . Nous sommes ravis d'avoir pu vous aider
A bientôt sur SoS-Math