SOS-MATH

Salut à tous, voilà , donc j'ai eu un DM de maths Spé pendant les vacances je l'ai commencé mais je bloque sur la fin donc si vous pouviez m'aider

Voici le Sujet :

1. On considère (E) : 17x - 11y = 1, où (x ; y) désigne un couple d'entiers relatifs. Résoudre (E).
C'est fait : j'ai trouvé (11k+2 ; 17k+3).

2.) Soit N un entier naturel tel qu'il existe un couple (a;b) d'entiers naturels vérifiant : (N=17a+3 et N=11b+4
a) Montrer que (a;b) est solution de (E): 17x - 11y = 1 ou (x;y) est un couple d'entiers relatifs.
Ca c'est fait.

b) Quel est le reste de la division euclidienne de N par 187 ?
C'est fait. Je trouve 37.

3) Déterminer tous les entiers naturels N tels que N soit solution du systeme de congruence : N congru à 37[mod187] et N congru à 5[mod6]
Je bloque.

Application :
Une bande de 17 pirates des Caraibes s'est emparée d'un butin composé de pièces d'or d'égale valeur. Ils décident de faire des parts égales et de donner le reste au cuisinier chinois. Celui ci recevrait alors 3 pièces d'or. Mais les pirates se querellent et six d'entre eux sont tués. Le cuisinier recevrait alors quatre pièce d'or. Comble de malchance pour l'équipage, le navire fait naufrage ! Seuls, le butin, six pirates et le cuisinier sont sauvés et le partage laisse alors cinq pièces d'or au cuisinier. Quelle est la fortune minimale que peut espérer le cuisinier s'il décide d'empoisonner le reste des pirates avec des nems au crabe qui ont déja fait deux fois le tour du monde ?
Je bloqué également.

Merci de m'aider et passez de joyeuses fêtes.

Bonjour,

J'ai quelques problèmes pour répondre immédiatement à la question 3.

En attendant que je réfléchisse, je prends l'application:

Si N est le nombre de pièces d'or alors l'énoncé se traduit par :
N congru à 3 modulo 17
N congru à 4 modulo 11
N congru 5 modulo 6.

La plus petite valeur de N est la solution cherchée.

Voila une adresse qui peut vous aider : http://mathsetcalculs.perso.neuf.fr/Maths/chinois.htm

bon courage

sosmath

j'ai un peu réfléchi et je reprends la question 3.

On veut résoudre : N congru à 37[mod187] et N congru à 5[mod6]


6 et 187 sont premier entre eux donc il existe des entiers u et v tels que 6u+187v=1

ce qui peut se traduire par : 6u congru 1 modulo 187 (1)
et 187v congru 1 modulo 6.


Considérons le nombre N=5x187v+37x6u Alors N congru 37x6u modulo 187 donc d'après (1) N congru 37 modulo 187

De même on montre que : N congru 5 modulo 6. Donc N est une solution

Si on considère deux solutions distinctes N1 et N2 , on montre N1-N2 est un multiple de 187 et de 6, donc un multiple de 187x6=1122.

On montre alors facilement que l'ensemble des solutions est de la forme / 5x187v+37xu+1122k.

Ensuite il faut trouver u et v, avec l'algorithme d'euclide( voir cours).

Bon courage

sosmaths