SOS-MATH

Bonjour,
j'ai un DM à faire pour la rentrée mais je galère trop donc je viens demander de l'aide.

Ex 1:

On considère une suite (Un) positive et la suite (Vn) définie par Vn= Un/(1+Un)
Les propositions suivantes sont-elles vraie ou fausses? Justifier dans chaque cas.

1. Pour tout n, 0<Vn<1
2. Si la suite (Un) est convergente, alors la suite (Vn) est convergente.
3. Si la suite (Un) est croissante,alors la suite (Vn) est croissante.
4. Si la suite (Vn) est convergente, alors la suite (Un) est convergente.


Pour le 1. j'ai mis que c'était vrai:
On sait que Un>0 donc Un/(1+Un)<1 donc o<Vn<1
Pour le 2. je ne sais pas comment justifier.
Pour le 3. j'ai mis que c'était faux:
Si Un est croissante alors Un/(1+Un) est décroissante donc Vn est décroissante.
Pour le 4. je ne sais pas non plus comment justifier (enfin je pense faire comme le 1. mais encore faut il que ça soit juste.)

Qu'en pensez vous?


Ex 2:

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct.
On considère la suite de complexes (Zn) définie par: z0=1 et, pourv tout entier n € N, z(n+1)=(1/2)izn.
Pour tout entier n € N*, on note Mn le point d'affixe zn et on pose Un=MnM(n+1)

1. Exprimer zn en fonction de n.
2. Montrer que (Un) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
3. Pour tout n € N*, on pose Ln=M0M1+M1M2+M2M3+...+M(n-1)Mn
(a) Exprimer Ln en fonction de n.
(b) Déterminer lim Ln (quand n tend vers + l'infini)


C'est surtout la première question qui me pose un problème car même si j'ai jamais fais de suite de nombre complexe ça dois pas être bien plus compliqué.
En fait comme on fait pour faire zn en fonction de n?????

J'espère que vous pourrez m'aider.
Bonne journée
Audrey

Bonjour Audrey,
Lorsque vous avez deux exercices, il faut poster deux sujets différents: c'est plus simple à s'y retrouver pour les autres lecteurs.

Je commence par l'exercice 2.
\(z_0=1\)
\(z_1=\frac{1}{2}iz_0=\frac{1}{2}i\)
\(z_2=\frac{1}{2}iz_1=\frac{1}{2}i\frac{1}{2}i=\left(\frac{1}{2}i\right)^2\).
Il faut continuer ainsi et vous verrez apparaître \(z_n\) en fonction de \(n\).
En fait \((z_n)_{n\geq~0}\) est une suite géométrique de premier terme \(z_0=1\) et de raison \(\frac{1}{2}i\).

Ensuite pour l'exercice 1. Tout d'abord, je voudrai m'assurer que la suite \((u_n)\) est strictement positive.
Question 1. Il est clair que \(v_n>0\) comme quotient de nombres strictement positifs.
Ensuite, votre explication est insuffisante: je vous suggère de démontrer que \(v_n-1<0\).
Question 2. Quels théorèmes avez-vous sur la convergence des suites?
Question 3. Essayer de trouver le signe de \(v_{n+1}-v_n\).
Question 4. On verra plus tard car vous avez du pain sur la planche.
A bientôt.