SOS-MATH

Bonjour, j'amerais avoir un peu d'aide pour terminer cette exercice de math
Il se présente ainsi:

Soit n un entier non nul et fn la fonction définie sur [0;+infini] par
\(fn(x)=1-\frac{2n}{x+n}-e^{-x}\)

1a)étudier les variation de fn
b)précisez fn(0) et la limite de fn en +infini

Je n'ai pas de difficultés pour ces questions ou je trouve:
Fn strictement croissante
Fn(0)=-2
et 1 comme limite

2a) Calculez fn (n) et précisez son signe
b) Par récurrence: demontrer que
\(e^{n+1}>2n+1\)
c)déduisez-en le signe de fn(n+1)

Pour le signe de fn(n) en remplaçant x par n puis en simplifiant j'obtient
Fn(n)=exp(-n)
Ce qui donne un signe positif

 ma démonstration par réccurence sans l'initialisation est:
Supposons
 \(e^{n+1}>2n+1\) vrai
Alors  \(e^{(n+1)+1}>2(n+1)+1\)
\(e^{n+2}>2n+3\)
Soit \(e^{n+2}>2n+1\)
On a donc bien

Pour la c je ne vois pas comment y parvenir

3)Demontrez que l'équation fn(x)=0 a une unique solution Un et que
n<Un<n+1

Je bloque principalement sur cette question, j'ai pensé au téhorème de la bijection mais je ne vois pas comment faire pour l'encadrement 

Voilà je me demande si quelqu'un pourrais m,aider à trouver le questions qui me bloque
Merci

bonjour Dorian,
votre première question est juste

Recalculer fn(n) vous avez une erreur de signe.

Votre démonstration par récurrence n'est pas correcte.
Supposons qu'il existe un entier k tel que exp(k+1)>2k+1 montrons alors que exp[(k+1)+1]>2(k+1)+1
commencez par exp[(k+1)+1]=exp(k+1)*exp(1) puis rappelez vous que exp(1)=e donc supérieur à 2

Pour trouver le signe de fn(n+1) il faut partir du résultat précédent :
e(n+1)>2n+1 donc 1/exp(n+1)<1/(2n+1) etc ....

A vous de terminer