SOS-MATH

bonjours. j'ai un dm à faire pour la fin de la semaine et je bloque sur la 1ere question de l'exercice... Pouvez vous m'aider svp. merci d'avance.

on note f(t) le nombre de ménages vivant en france équipés d'un ordinateur (t est exprimé en années et f(t) en millions de ménages).
on pose t=0 en 1980 et on sait que f(0)=0.01.
le modèle de verhulst estime que sur la période 1980-2020, f est solution de l'équation différentielle:
(E1): y'= 0.022y(20-y)

1] on pose u=1/f.
démontrer que f est solution de (E1) si, et seulement si, u est solution de l'équation différentielle:
(E2): y'=-0.44y+0.022

Bonsoir Dan,

Tu ne peux dans ce cas conduire un raisonnement par équivalence, donc tu dois envisager une démonstration directe, suivie d'une démonstration réciproque.

Voyons déjà comment s'articule la démonstration directe.

En premier lieu, sachant que \(u=\frac{1}{f}\), tu calcules la dérivée de \(u\).
Maintenant, tu supposes que \(f\) vérifie \((E_1)\), alors tu écris l'égalité correspondante, puis tu transformes cette égalité pour y faire apparaître \(u'\), tu dois alors pouvoir faire disparaître \(f\) en faisant apparaître \(u\) et t'apercevoir que \(u\) obéït bien à l'équation \((E_2)\).

Bon courage.

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