Page 1 sur 1
nombres complexes
Posté : sam. 14 nov. 2009 20:06
par Solène
Bonsoir
On pose z1= \(\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}\) et z2=1-i
1) Ecrivez z1, z2 et z=z1/z2 sous forme trigonométrique.
2) Déduisez-en cos(\(\pi\)/12) et sin(\(\pi\)/12)
3) Résolvez dans [-\(\pi\);\(\pi\)[ l'équation : (\(\sqrt{6}\)+\(\sqrt{2})cosx+(\sqrt{6}\)-\(\sqrt{2}\))sinx=2
1) z1=\(\sqrt{2}\)(cos(\(\pi\)/6)+isin(\(\pi\)/6))
z2=\(\sqrt{2}\)(cos(-\(\pi\)/2)+isin(-\(\pi\)/2))
z=cos(2\(\pi\)/3)+isin(2\(\pi\)/3)
Je n'ai pas compris la question 2.
Pour la question 3, je ne vois pas comment résoudre l'équation. J'ai développé mais je n'aboutis à rien. Je ne parviens pas à factoriser.
Merci d'avance
Re: nombres complexes
Posté : sam. 14 nov. 2009 20:51
par sos-math(19)
Bonsoir Solène,
Le calcul de \(z_1\) est correct.
Tu as fait une erreur dans le calcul de \(z_2\), donc dans celui de z et cela t'empêche de comprendre la suite.
Bon courage.
sos-math
Re: nombres complexes
Posté : sam. 14 nov. 2009 22:35
par Solène
z2= \(\sqrt{2}\)(cos(-\(\pi\)/4)+isin(-\(\pi\)/4))
z= cos(5\(\pi\)/12)+isin(5\(\pi\)/12)
2)z0= \(\frac{|z|}{2|z1|}\)= \(\frac{1}{2\sqrt{2}\)=\(\frac{\sqrt{2}}{4}\)
Arg(z0)=Arg(z)-2Arg(z1)=\(\frac{5\pi}{12}\)-2*\(\pi\)/6=\(\pi\)/12
z0=\(\frac{\sqrt{2}}{4}\)(cos(\(\pi\)/12)+isin(\(\pi\)/12))
Est-ce bien ce qu'on me demande ?
Re: nombres complexes
Posté : dim. 15 nov. 2009 10:13
par sos-math(15)
Bonjour Solène,
Je suppose que \(z_0=\frac{z}{2z_1}\).
Si tu trouvais la forme algébrique de \(z_0\), tu pourrais en déduire les valeurs demandées n'est-ce pas ?
Bonne continuation.
Sos-math
Re: nombres complexes
Posté : dim. 15 nov. 2009 15:37
par Solène
Bonjour
z0=\(\frac{z}{2z1}\)=\(\frac{z1}{z2*2z1}\)=\(\frac{1}{z2*z1}\)=\(\frac{\overline{z2}*\overline{z1}}{|z2*z1|^2}\)
en utilisant cette formule, je trouve z0=\(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{8}\)+\(\frac{i(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{8}\)
Donc
\(\frac{\sqrt{2}}{4}\)*cos\(\frac{\pi}{12}\)= \(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{8}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{4}\)*sin\(\frac{\pi}{12}\)= \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{8}\)
J'ai vérifié à la calculatrice, mon résultat est faux.
Je ne trouve pas mon erreur.
Re: nombres complexes
Posté : dim. 15 nov. 2009 15:53
par sos-math(15)
Bonjour Solène,
La "mise en indice" se fait avec un tiré bas : (TeX)z_0(/TeX).
Ton calcul est donc \(z_0=\frac{z}{2z_1}=\frac{z_1}{2z_1z_2}\) qui se simplifie en \(\frac{1}{2z_2}\) non ?
Bon courage,
Sos-math
Re: nombres complexes
Posté : dim. 15 nov. 2009 16:06
par Solène
je trouve \(z_0\)=\(\frac{1}{4}\)+\(\frac{1}{4}\)i
Re: nombres complexes
Posté : dim. 15 nov. 2009 18:09
par sos-math(19)
nombres complexes
Messagede Solène le Sam Nov 14, 2009 8:06 pm
Bonsoir
On pose z1= \frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2} et z2=1-i
1) Ecrivez z1, z2 et z=z1/z2 sous forme trigonométrique.
2) Déduisez-en cos(\pi/12) et sin(\pi/12)
3) Résolvez dans [-\pi;\pi[ l'équation : (\sqrt{6}+\sqrt{2})cosx+(\sqrt{6}-\sqrt{2})sinx=2
1) z1=\sqrt{2}(cos(\pi/6)+isin(\pi/6))
z2=\sqrt{2}(cos(-\pi/2)+isin(-\pi/2))
z=cos(2\pi/3)+isin(2\pi/3)
Je n'ai pas compris la question 2.
Pour la question 3, je ne vois pas comment résoudre l'équation. J'ai développé mais je n'aboutis à rien. Je ne parviens pas à factoriser.
Merci d'avance
Si tu es toujours sur ce problème, il faut reprendre le calcul de \(z_1\) qui était faux en réalité : excuse-moi, j'avais du répondre un peu vite et je reviens juste à l'ordinateur.
Je ne comprends pas la suite de ton travail avec le \(z_0\) que tu calcules.
A bientôt.
sos-math
Re: nombres complexes
Posté : dim. 15 nov. 2009 19:19
par Solène
Bonsoir,
\(\z_1\)=\(\sqrt{2}\)(cos(-\(\frac{\pi}{6}\))+isin(-\(\frac{\pi}{6}\)))
z=cos\(\frac{\pi}{12}\)+isin\(\frac{\pi}{12}\)
forme algébrique de z --> z= \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)+i\(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
Donc cos\(\frac{\pi}{12}\)= \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
sin\(\frac{\pi}{12}\)= \(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
Re: nombres complexes
Posté : dim. 15 nov. 2009 19:25
par sos-math(19)
Bonsoir Solène,
Très bien.
Dans la troisième question, tu vas pouvoir utiliser les valeurs que tu viens de calculer, puis les formules d'addition.
Bon courage.
sos-math
Re: nombres complexes
Posté : dim. 15 nov. 2009 19:52
par Solène
3) L'équation a une seule solution x=\(\frac{-\pi}{4}\)
Merci de votre aide !
Re: nombres complexes
Posté : dim. 15 nov. 2009 20:58
par sos-math(19)
Bonsoir Solène,
\(-\frac{\pi}{4}\) est une solution, mais il y en a une autre sur l'intervalle considéré.
Quelle équation as-tu obtenu après application d'une formule d'addition ?
A bientôt.
sos-math
Re: nombres complexes
Posté : dim. 15 nov. 2009 21:18
par Solène
J'obtiens cos (\(\frac{\pi}{12}\)-x)= \(\frac{1}{2}\)
On pose X=\(\frac{\pi}{12}\)-x
cos X=\(\frac{1}{2}\)
donc X=\(\frac{\pi}{3}\) et X=\(\frac{-\pi}{3}\)
D'où x=\(\frac{-\pi}{4}\) et x=\(\frac{5\pi}{12}\)
Est-ce bien cela ?
Re: nombres complexes
Posté : dim. 15 nov. 2009 21:20
par sos-math(19)
Bonsoir Solène,
Bravo.
A bientôt sur sos-math