DM TS Nombres complexes

[Pierre]

Bonjour, voilà je suis bloquer sur la 2ème partie de mon exercice et j'aurais voulu que quelqu'un puisse m'aider, au moins me donner des indications si ce serait possible. Voilà le sujet:

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O; u; v ); on prend comme unité graphique 1cm.
On considère l'équation (E):
z^3 - 2(racine de 3 + i)z² + 4(1+i racine de 3)z - 8i = 0

1)
a)Montrer que (E) admet une solution imaginaire pure unique que l'on calculera.
b)Déterminer les réels a et b tels que
z^3 - 2(racine de 3 + i)z² + 4(1+i racine de 3)z - 8i = (z-2i)(z²+az+b)
c)Résoudre (E)

2) On considère les points A, B et C d'affixes respectives :
a = racine de 3 - i b= racine de 3 + i et c = 2i
a) Montrer que A, B et C sont sur un même cercle dont vous donnerez les éléments caractéristiques.
b) Placer de façon précise les points A, B et C dans le repère.
c) Montrer que le quadrilatère OABC est un losange

Je voudrais surtout de l'aide pour la question 2)a) et la 2)b) ( comment puis-je placer une racine de 3 sur le repère)J'espère que vous pourriez m'aider. Merci d'avance.

[sos-math(19)]

Bonsoir Pierre,

J'ai sans doute verrouillé le sujet un peu rapidement, je n'avais pas vu la deuxième question.

S'il ne s'agit que de placer le point A ou le point B, tu peux toujours te servir d'un double décimètre après avoir pris une approximation décimale de \(\sqrt{3}\).

Par contre, si tu veux construire le point A ou le point B, tu peux t'aider de la forme trigonométrique qu'il faut alors préalablement déterminer.

A bientôt.

sos-math

[Pierre]

j'ai tout de même trouvé la question a et b , je pensse qu'il faut utiliser le module et l'argument. sa fait que le point A et B font pi/6 et -pi/6 donc c'est plus précis pour les placer.
Par contre pour la question (c) je penssais réussir , mais je bloque , quelqu'un pourrait m'aider svp ?

[sos-math(19)]

Bonsoir Pierre,

Question a : Oui, il fallait calculer le module ici. Tu as du trouver que les trois nombres avaient le même module égal à 2.

Question b :
pour la construction de A, tu sais que le module de a vaut 2, donc A est sur le cercle de centre O de rayon 2,
tu sais aussi que la partie imaginaire de a vaut -1, donc A est aussi sur la droite d'équation y=-1,
tu sais enfin que la partie réelle de a est positive, ce qui termine de déterminer le point A.

b est le conjugué de A, donc B est ...

Question c : Dans le quadrilatère OBAC, tu connais déjà les longueurs OB et OC, tu peux calculer les longueurs AB et AC à l'aide des affixes de ces trois points.

Bonne continuation.

sos-math