SOS-MATH

pouvez vous m'aidez svp:

n désigne un entier naturel non nul
a=7n²+4 et b=n²+1
1.démontrer que tout diviseur commun à a et b est un diviseur de 3
2a. expliquer pourquoi si PGCD(a,b)=3 alors il existe un entier naturel k tel que n²+1=3k
b.démontrer que cela est impossible par dijection de cas
3.en déduire PGCD(a,b)

est ce que vous pouvez m'aider j'ai du mal avec le PGCD
merci d'avance

bonjour,

Si d divise a et b, alors d divise ka+k'b avec k et k' entier relatif.

essaye avec k=1 et k'=-7.

sosmaths

pour la 1 j'ai fait:
soit d un diviseur commun à a et b
donc d divise 7n²+4 et n²+1
donc d divise 7n²+4 et 7n²+7
de même d divise 7n²+7-(7n²+4) c'est a dire 3

mais la suite je bloque

svp j'ai vraiment du mal

ce que tu as fait est très bien.

Tu as montré que si d divise a et b alors d divise 3.

Donc tout diviseur de a et b divise 3.
La première question est faite.
2)a) très simple , si Pgcd(a,b)=3 alors 3 divise b, donc il existe k entier tel que b=3k, donc n²+1=3k.

A toi de continuer .

sosmaths

ah enfaite c'étai logique la 2eme question
mais c'est quoi la disjection?

je suis vraiment nul j'arrive pas

pourquoi veux tu que les maths soient illogique ?

La disjonction des cas, c'est diviser le problème en envisageant plusieurs cas possibles.

La je te conseille de diviser le problème en 3.

1er cas : n=3k
2ème cas : n=3k+1
3ème cas : n=3k+2

sosmaths

je dois montrer:

n²+1=3k+1 si n²=3k soit n=racine 3k
or k est un entier naturel donc impossible
et je fait de même pour
n²+1=3k+2 si n²=3k+1 et n=racine 3k+1
c'est ça?

mais pour n²+1=3k
on a aussi n²=3k-1 et n=racine 3k-1
ah je vois l'erreur c'est que toi tu prend n

donc pour n=3k on a n²+1=9k²+1
pour n=3k+1 on a n²+1=9k²+6k+1
et pour n=3k+2 on a n²+1=9k²+12k+4

mais pourquoi choisi tu n=3k ou c=3k+1 ou n=3k+2 alors que c'est n²+1 qui est égal a 3k ??

de plus ou voit-on que c'est impossible ici?

Tu supposes que n²+1=3k et on va montrer que c'est impossible.

et la je plaide coupable, il faut écrire n=3p , p entier, pour pas confondre avec le k de droite.

Si n=3p alors n²+1=3k equivaut à 9p²+1=3k ceci est impossible car 3k est un multiple de 3 et 9p²+1 n'est pas un multiple de 3.
Si n=3p+1 tu recommences le calcul

si n=3p+2 tu recommences le calcul.

sosmaths

mais pourtant dans l'énoncé on dit

expliquer pourquoi si PGCD(a,b)=3 alors il existe un entier naturel k tel que n²+1=3k

alors c'est juste non?

Bonsoir zonflodul(?)

Tu confonds les deux questions !

Pour la question 2a, tu sais que si PGCD(a,b) = 3, alors 3 divise b (=n²+1),
d'où la réponse .... 3k = n²+1.

Pour la question 2b, on veut montrer que 3k = n²+1 n'est pas possible.
Donc l'hypothèse de la question 2a (PGCD(a,b) = 3) n'est pas possible ...

Continue la disjonction de cas que l'on t'a donné.

Bon courage,
SoSMath.

bonsoir!!!

Merci beaucoup j'ai compris ce que tu veux dire
mais tu peux juste me dire pourquoi on prend n=3k ou n=3k+1 ou n=3k+2 ?
ce que nous nous cherchons c'est si n²+1 est un multiple de 3 et non pas n?
ah si c'est bon c'est parce que n peut s'écrire :
2k ou 2k+1
3k ou 3k+1 ou 3k+2
4k ou 4k+1 ou 4k+2 ou 4k+3...

mais là ça nous arrange de prendre 3k c'est ça???

merci beaucoup de ton aide

et de là comment puis-je déduire le PGCD de a,b ?
je sais déjà que ce n'est pas 3 alors sa peux etre n'importe quoi 1,2,4,5 ... non?